Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38041 / 28391
↖ ↑ ↗
← N 23.367471°
E 28.965454°		 ← 560.75 m → N 23.367471°
E 28.970947°		 →
↑
560.71 m
↓
↑
560.71 m
↓
N 23.362429°
E 28.965454°		 ← 560.77 m →
314 425 m²		 N 23.362429°
E 28.970947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580467224121094 y=0.433219909667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580467224121094 × 216)
    floor (0.580467224121094 × 65536)
    floor (38041.5)     		tx = 38041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433219909667969 × 216)
    floor (0.433219909667969 × 65536)
    floor (28391.5)     		ty = 28391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38041 / 28391 ti = "16/38041/28391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38041/28391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38041 ÷ 216
    38041 ÷ 65536     		x = 0.580459594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28391 ÷ 216
    28391 ÷ 65536     		y = 0.433212280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580459594726562 × 2 - 1) × π
    0.160919189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50554254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433212280273438 × 2 - 1) × π
    0.133575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.419639619273972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50554254} λ = 0.50554254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419639619273972))-π/2
    2×atan(1.52141316882818)-π/2
    2×0.989317819449892-π/2
    1.97863563889978-1.57079632675     		φ = 0.40783931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50554254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.965454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40783931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.367471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38041 KachelY 28391 0.50554254 0.40783931 28.965454 23.367471
    Oben rechts KachelX + 1 38042 KachelY 28391 0.50563842 0.40783931 28.970947 23.367471
    Unten links KachelX 38041 KachelY + 1 28392 0.50554254 0.40775130 28.965454 23.362429
    Unten rechts KachelX + 1 38042 KachelY + 1 28392 0.50563842 0.40775130 28.970947 23.362429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40783931-0.40775130) × R
    8.80100000000272e-05 × 6371000     		dl = 560.711710000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40783931-0.40775130) × R
    8.80100000000272e-05 × 6371000     		dr = 560.711710000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50554254-0.50563842) × cos(0.40783931) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.917979952509618 × 6371000     		do = 560.749412601111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50554254-0.50563842) × cos(0.40775130) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.918014856077718 × 6371000     		du = 560.770733497342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40783931)-sin(0.40775130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917979952509618-0.918014856077718)×R²
    abs(0.50563842-0.50554254)×3.49035680999865e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.49035680999865e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.49035680999865e-05×40589641000000     		ar = 314424.739662243m²