Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38040 / 28394
↖ ↑ ↗
← N 23.352343°
E 28.959961°		 ← 560.75 m → N 23.352343°
E 28.965454°		 →
↑
560.84 m
↓
↑
560.84 m
↓
N 23.347299°
E 28.959961°		 ← 560.78 m →
314 499 m²		 N 23.347299°
E 28.965454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580451965332031 y=0.433265686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580451965332031 × 216)
    floor (0.580451965332031 × 65536)
    floor (38040.5)     		tx = 38040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433265686035156 × 216)
    floor (0.433265686035156 × 65536)
    floor (28394.5)     		ty = 28394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38040 / 28394 ti = "16/38040/28394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38040/28394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38040 ÷ 216
    38040 ÷ 65536     		x = 0.5804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28394 ÷ 216
    28394 ÷ 65536     		y = 0.433258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5804443359375 × 2 - 1) × π
    0.160888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50544667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433258056640625 × 2 - 1) × π
    0.13348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.419351997876251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50544667} λ = 0.50544667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419351997876251))-π/2
    2×atan(1.52097564077029)-π/2
    2×0.989185796582704-π/2
    1.97837159316541-1.57079632675     		φ = 0.40757527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50544667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40757527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.352343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38040 KachelY 28394 0.50544667 0.40757527 28.959961 23.352343
    Oben rechts KachelX + 1 38041 KachelY 28394 0.50554254 0.40757527 28.965454 23.352343
    Unten links KachelX 38040 KachelY + 1 28395 0.50544667 0.40748724 28.959961 23.347299
    Unten rechts KachelX + 1 38041 KachelY + 1 28395 0.50554254 0.40748724 28.965454 23.347299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40757527-0.40748724) × R
    8.80300000000167e-05 × 6371000     		dl = 560.839130000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40757527-0.40748724) × R
    8.80300000000167e-05 × 6371000     		dr = 560.839130000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50544667-0.50554254) × cos(0.40757527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918084645845323 × 6371000     		do = 560.754873507092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50544667-0.50554254) × cos(0.40748724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918119536005707 × 6371000     		du = 560.776183990348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40757527)-sin(0.40748724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918084645845323-0.918119536005707)×R²
    abs(0.50554254-0.50544667)×3.489016038416e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.489016038416e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.489016038416e-05×40589641000000     		ar = 314499.251480606m²