Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3804 / 2107
↖ ↑ ↗
← N 65.458261°
W 12.832032°		 ← 2 029.66 m → N 65.458261°
W 12.788086°		 →
↑
2 030.37 m
↓
↑
2 030.37 m
↓
N 65.440002°
W 12.832032°		 ← 2 031.08 m →
4 122 409 m²		 N 65.440002°
W 12.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46441650390625 y=0.25726318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46441650390625 × 213)
    floor (0.46441650390625 × 8192)
    floor (3804.5)     		tx = 3804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25726318359375 × 213)
    floor (0.25726318359375 × 8192)
    floor (2107.5)     		ty = 2107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3804 / 2107 ti = "13/3804/2107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3804/2107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3804 ÷ 213
    3804 ÷ 8192     		x = 0.46435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2107 ÷ 213
    2107 ÷ 8192     		y = 0.2572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2572021484375 × 2 - 1) × π
    0.485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52554389350867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22396120} λ = -0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52554389350867))-π/2
    2×atan(4.59764351785669)-π/2
    2×1.35662925174196-π/2
    2.71325850348392-1.57079632675     		φ = 1.14246218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14246218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.458261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3804 KachelY 2107 -0.22396120 1.14246218 -12.832032 65.458261
    Oben rechts KachelX + 1 3805 KachelY 2107 -0.22319420 1.14246218 -12.788086 65.458261
    Unten links KachelX 3804 KachelY + 1 2108 -0.22396120 1.14214349 -12.832032 65.440002
    Unten rechts KachelX + 1 3805 KachelY + 1 2108 -0.22319420 1.14214349 -12.788086 65.440002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14246218-1.14214349) × R
    0.000318690000000066 × 6371000     		dl = 2030.37399000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14246218-1.14214349) × R
    0.000318690000000066 × 6371000     		dr = 2030.37399000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22396120--0.22319420) × cos(1.14246218) × R
    0.00076699999999999 × 0.415356021200072 × 6371000     		do = 2029.66087288734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22396120--0.22319420) × cos(1.14214349) × R
    0.00076699999999999 × 0.415645899308277 × 6371000     		du = 2031.07737878613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14246218)-sin(1.14214349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415356021200072-0.415645899308277)×R²
    abs(-0.22319420--0.22396120)×0.000289878108205133×R²
    0.00076699999999999×0.000289878108205133×6371000²
    0.00076699999999999×0.000289878108205133×40589641000000     		ar = 4122408.69808735m²