Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38039 / 30853
↖ ↑ ↗
← N 10.460804°
E 28.954468°		 ← 600.64 m → N 10.460804°
E 28.959961°		 →
↑
600.66 m
↓
↑
600.66 m
↓
N 10.455402°
E 28.954468°		 ← 600.65 m →
360 780 m²		 N 10.455402°
E 28.959961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580436706542969 y=0.470787048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580436706542969 × 216)
    floor (0.580436706542969 × 65536)
    floor (38039.5)     		tx = 38039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470787048339844 × 216)
    floor (0.470787048339844 × 65536)
    floor (30853.5)     		ty = 30853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38039 / 30853 ti = "16/38039/30853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38039/30853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38039 ÷ 216
    38039 ÷ 65536     		x = 0.580429077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30853 ÷ 216
    30853 ÷ 65536     		y = 0.470779418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580429077148438 × 2 - 1) × π
    0.160858154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50535080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470779418945312 × 2 - 1) × π
    0.058441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.183598325544815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50535080} λ = 0.50535080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.183598325544815))-π/2
    2×atan(1.20153310100049)-π/2
    2×0.876685897211441-π/2
    1.75337179442288-1.57079632675     		φ = 0.18257547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50535080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.954468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18257547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.460804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38039 KachelY 30853 0.50535080 0.18257547 28.954468 10.460804
    Oben rechts KachelX + 1 38040 KachelY 30853 0.50544667 0.18257547 28.959961 10.460804
    Unten links KachelX 38039 KachelY + 1 30854 0.50535080 0.18248119 28.954468 10.455402
    Unten rechts KachelX + 1 38040 KachelY + 1 30854 0.50544667 0.18248119 28.959961 10.455402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18257547-0.18248119) × R
    9.42800000000021e-05 × 6371000     		dl = 600.657880000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18257547-0.18248119) × R
    9.42800000000021e-05 × 6371000     		dr = 600.657880000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50535080-0.50544667) × cos(0.18257547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983379345064089 × 6371000     		do = 600.636077235742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50535080-0.50544667) × cos(0.18248119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983396458437825 × 6371000     		du = 600.646529875123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18257547)-sin(0.18248119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983379345064089-0.983396458437825)×R²
    abs(0.50544667-0.50535080)×1.71133737356666e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71133737356666e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71133737356666e-05×40589641000000     		ar = 360779.932301322m²