Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38038 / 30854
↖ ↑ ↗
← N 10.455402°
E 28.948974°		 ← 600.71 m → N 10.455402°
E 28.954468°		 →
↑
600.72 m
↓
↑
600.72 m
↓
N 10.450000°
E 28.948974°		 ← 600.72 m →
360 862 m²		 N 10.450000°
E 28.954468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580421447753906 y=0.470802307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580421447753906 × 216)
    floor (0.580421447753906 × 65536)
    floor (38038.5)     		tx = 38038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470802307128906 × 216)
    floor (0.470802307128906 × 65536)
    floor (30854.5)     		ty = 30854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38038 / 30854 ti = "16/38038/30854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38038/30854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38038 ÷ 216
    38038 ÷ 65536     		x = 0.580413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30854 ÷ 216
    30854 ÷ 65536     		y = 0.470794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580413818359375 × 2 - 1) × π
    0.16082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50525492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470794677734375 × 2 - 1) × π
    0.05841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.183502451745575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50525492} λ = 0.50525492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.183502451745575))-π/2
    2×atan(1.20141791097913)-π/2
    2×0.876638756644248-π/2
    1.7532775132885-1.57079632675     		φ = 0.18248119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50525492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.948974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18248119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.455402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38038 KachelY 30854 0.50525492 0.18248119 28.948974 10.455402
    Oben rechts KachelX + 1 38039 KachelY 30854 0.50535080 0.18248119 28.954468 10.455402
    Unten links KachelX 38038 KachelY + 1 30855 0.50525492 0.18238690 28.948974 10.450000
    Unten rechts KachelX + 1 38039 KachelY + 1 30855 0.50535080 0.18238690 28.954468 10.450000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18248119-0.18238690) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dl = 600.72158999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18248119-0.18238690) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dr = 600.72158999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50525492-0.50535080) × cos(0.18248119) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.983396458437825 × 6371000     		do = 600.70918206311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50525492-0.50535080) × cos(0.18238690) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.9834135648842 × 6371000     		du = 600.719631561196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18248119)-sin(0.18238690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983396458437825-0.9834135648842)×R²
    abs(0.50535080-0.50525492)×1.71064463755366e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71064463755366e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71064463755366e-05×40589641000000     		ar = 360862.113863393m²