Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38036 / 28402
↖ ↑ ↗
← N 23.311991°
E 28.937988°		 ← 560.98 m → N 23.311991°
E 28.943482°		 →
↑
560.97 m
↓
↑
560.97 m
↓
N 23.306946°
E 28.937988°		 ← 561.01 m →
314 699 m²		 N 23.306946°
E 28.943482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580390930175781 y=0.433387756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580390930175781 × 216)
    floor (0.580390930175781 × 65536)
    floor (38036.5)     		tx = 38036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433387756347656 × 216)
    floor (0.433387756347656 × 65536)
    floor (28402.5)     		ty = 28402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38036 / 28402 ti = "16/38036/28402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38036/28402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38036 ÷ 216
    38036 ÷ 65536     		x = 0.58038330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28402 ÷ 216
    28402 ÷ 65536     		y = 0.433380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58038330078125 × 2 - 1) × π
    0.1607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50506317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433380126953125 × 2 - 1) × π
    0.13323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.41858500748233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50506317} λ = 0.50506317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.41858500748233))-π/2
    2×atan(1.51980951432549)-π/2
    2×0.988833662033379-π/2
    1.97766732406676-1.57079632675     		φ = 0.40687100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50506317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.937988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40687100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.311991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38036 KachelY 28402 0.50506317 0.40687100 28.937988 23.311991
    Oben rechts KachelX + 1 38037 KachelY 28402 0.50515905 0.40687100 28.943482 23.311991
    Unten links KachelX 38036 KachelY + 1 28403 0.50506317 0.40678295 28.937988 23.306946
    Unten rechts KachelX + 1 38037 KachelY + 1 28403 0.50515905 0.40678295 28.943482 23.306946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40687100-0.40678295) × R
    8.80500000000062e-05 × 6371000     		dl = 560.966550000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40687100-0.40678295) × R
    8.80500000000062e-05 × 6371000     		dr = 560.966550000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50506317-0.50515905) × cos(0.40687100) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.91836357977194 × 6371000     		do = 560.983751882069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50506317-0.50515905) × cos(0.40678295) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.918398420917341 × 6371000     		du = 561.005034647302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40687100)-sin(0.40678295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91836357977194-0.918398420917341)×R²
    abs(0.50515905-0.50506317)×3.48411454006436e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.48411454006436e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.48411454006436e-05×40589641000000     		ar = 314699.089562376m²