Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38035 / 28404
↖ ↑ ↗
← N 23.301901°
E 28.932495°		 ← 560.97 m → N 23.301901°
E 28.937988°		 →
↑
561.03 m
↓
↑
561.03 m
↓
N 23.296856°
E 28.932495°		 ← 560.99 m →
314 726 m²		 N 23.296856°
E 28.937988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580375671386719 y=0.433418273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580375671386719 × 216)
    floor (0.580375671386719 × 65536)
    floor (38035.5)     		tx = 38035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433418273925781 × 216)
    floor (0.433418273925781 × 65536)
    floor (28404.5)     		ty = 28404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38035 / 28404 ti = "16/38035/28404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38035/28404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38035 ÷ 216
    38035 ÷ 65536     		x = 0.580368041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28404 ÷ 216
    28404 ÷ 65536     		y = 0.43341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580368041992188 × 2 - 1) × π
    0.160736083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50496730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43341064453125 × 2 - 1) × π
    0.1331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.41839325988385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50496730} λ = 0.50496730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.41839325988385))-π/2
    2×atan(1.51951812243871)-π/2
    2×0.988745611687589-π/2
    1.97749122337518-1.57079632675     		φ = 0.40669490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50496730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.932495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40669490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.301901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38035 KachelY 28404 0.50496730 0.40669490 28.932495 23.301901
    Oben rechts KachelX + 1 38036 KachelY 28404 0.50506317 0.40669490 28.937988 23.301901
    Unten links KachelX 38035 KachelY + 1 28405 0.50496730 0.40660684 28.932495 23.296856
    Unten rechts KachelX + 1 38036 KachelY + 1 28405 0.50506317 0.40660684 28.937988 23.296856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40669490-0.40660684) × R
    8.80600000000009e-05 × 6371000     		dl = 561.030260000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40669490-0.40660684) × R
    8.80600000000009e-05 × 6371000     		dr = 561.030260000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50496730-0.50506317) × cos(0.40669490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91843325494258 × 6371000     		do = 560.967799680208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50496730-0.50506317) × cos(0.40660684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918468085802338 × 6371000     		du = 560.989073943367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40669490)-sin(0.40660684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91843325494258-0.918468085802338)×R²
    abs(0.50506317-0.50496730)×3.48308597585278e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48308597585278e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48308597585278e-05×40589641000000     		ar = 314725.878462265m²