Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38034 / 30831
↖ ↑ ↗
← N 10.579622°
E 28.927002°		 ← 600.40 m → N 10.579622°
E 28.932495°		 →
↑
600.47 m
↓
↑
600.47 m
↓
N 10.574222°
E 28.927002°		 ← 600.42 m →
360 526 m²		 N 10.574222°
E 28.932495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580360412597656 y=0.470451354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580360412597656 × 216)
    floor (0.580360412597656 × 65536)
    floor (38034.5)     		tx = 38034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470451354980469 × 216)
    floor (0.470451354980469 × 65536)
    floor (30831.5)     		ty = 30831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38034 / 30831 ti = "16/38034/30831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38034/30831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38034 ÷ 216
    38034 ÷ 65536     		x = 0.580352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30831 ÷ 216
    30831 ÷ 65536     		y = 0.470443725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580352783203125 × 2 - 1) × π
    0.16070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50487143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470443725585938 × 2 - 1) × π
    0.059112548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.185707549128098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50487143} λ = 0.50487143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.185707549128098))-π/2
    2×atan(1.20407007753804)-π/2
    2×0.877722781367958-π/2
    1.75544556273592-1.57079632675     		φ = 0.18464924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50487143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.927002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18464924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.579622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38034 KachelY 30831 0.50487143 0.18464924 28.927002 10.579622
    Oben rechts KachelX + 1 38035 KachelY 30831 0.50496730 0.18464924 28.932495 10.579622
    Unten links KachelX 38034 KachelY + 1 30832 0.50487143 0.18455499 28.927002 10.574222
    Unten rechts KachelX + 1 38035 KachelY + 1 30832 0.50496730 0.18455499 28.932495 10.574222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18464924-0.18455499) × R
    9.42499999999902e-05 × 6371000     		dl = 600.466749999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18464924-0.18455499) × R
    9.42499999999902e-05 × 6371000     		dr = 600.466749999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50487143-0.50496730) × cos(0.18464924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983000711248419 × 6371000     		do = 600.404812331823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50487143-0.50496730) × cos(0.18455499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983018011347067 × 6371000     		du = 600.415379020497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18464924)-sin(0.18455499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983000711248419-0.983018011347067)×R²
    abs(0.50496730-0.50487143)×1.73000986479765e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73000986479765e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73000986479765e-05×40589641000000     		ar = 360526.299084667m²