Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38032 / 30863
↖ ↑ ↗
← N 10.406780°
E 28.916016°		 ← 600.74 m → N 10.406780°
E 28.921509°		 →
↑
600.72 m
↓
↑
600.72 m
↓
N 10.401378°
E 28.916016°		 ← 600.75 m →
360 881 m²		 N 10.401378°
E 28.921509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580329895019531 y=0.470939636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580329895019531 × 216)
    floor (0.580329895019531 × 65536)
    floor (38032.5)     		tx = 38032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470939636230469 × 216)
    floor (0.470939636230469 × 65536)
    floor (30863.5)     		ty = 30863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38032 / 30863 ti = "16/38032/30863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38032/30863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38032 ÷ 216
    38032 ÷ 65536     		x = 0.580322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30863 ÷ 216
    30863 ÷ 65536     		y = 0.470932006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580322265625 × 2 - 1) × π
    0.16064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50467968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470932006835938 × 2 - 1) × π
    0.058135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.182639587552414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50467968} λ = 0.50467968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.182639587552414))-π/2
    2×atan(1.20038169760272)-π/2
    2×0.876214454680462-π/2
    1.75242890936092-1.57079632675     		φ = 0.18163258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50467968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.916016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18163258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.406780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38032 KachelY 30863 0.50467968 0.18163258 28.916016 10.406780
    Oben rechts KachelX + 1 38033 KachelY 30863 0.50477555 0.18163258 28.921509 10.406780
    Unten links KachelX 38032 KachelY + 1 30864 0.50467968 0.18153829 28.916016 10.401378
    Unten rechts KachelX + 1 38033 KachelY + 1 30864 0.50477555 0.18153829 28.921509 10.401378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18163258-0.18153829) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dl = 600.72158999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18163258-0.18153829) × R
    9.42899999999969e-05 × 6371000     		dr = 600.72158999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50467968-0.50477555) × cos(0.18163258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983550101689381 × 6371000     		do = 600.740373294117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50467968-0.50477555) × cos(0.18153829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983567129442025 × 6371000     		du = 600.750773637183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18163258)-sin(0.18153829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983550101689381-0.983567129442025)×R²
    abs(0.50477555-0.50467968)×1.70277526436724e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70277526436724e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70277526436724e-05×40589641000000     		ar = 360880.836345067m²