Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38031 / 30865
↖ ↑ ↗
← N 10.395975°
E 28.910523°		 ← 600.76 m → N 10.395975°
E 28.916016°		 →
↑
600.79 m
↓
↑
600.79 m
↓
N 10.390572°
E 28.910523°		 ← 600.77 m →
360 932 m²		 N 10.390572°
E 28.916016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580314636230469 y=0.470970153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580314636230469 × 216)
    floor (0.580314636230469 × 65536)
    floor (38031.5)     		tx = 38031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470970153808594 × 216)
    floor (0.470970153808594 × 65536)
    floor (30865.5)     		ty = 30865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38031 / 30865 ti = "16/38031/30865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38031/30865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38031 ÷ 216
    38031 ÷ 65536     		x = 0.580307006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30865 ÷ 216
    30865 ÷ 65536     		y = 0.470962524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580307006835938 × 2 - 1) × π
    0.160614013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50458381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470962524414062 × 2 - 1) × π
    0.058074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.182447839953934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50458381} λ = 0.50458381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.182447839953934))-π/2
    2×atan(1.20015154936084)-π/2
    2×0.876120156363004-π/2
    1.75224031272601-1.57079632675     		φ = 0.18144399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50458381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.910523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18144399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.395975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38031 KachelY 30865 0.50458381 0.18144399 28.910523 10.395975
    Oben rechts KachelX + 1 38032 KachelY 30865 0.50467968 0.18144399 28.916016 10.395975
    Unten links KachelX 38031 KachelY + 1 30866 0.50458381 0.18134969 28.910523 10.390572
    Unten rechts KachelX + 1 38032 KachelY + 1 30866 0.50467968 0.18134969 28.916016 10.390572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18144399-0.18134969) × R
    9.42999999999916e-05 × 6371000     		dl = 600.785299999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18144399-0.18134969) × R
    9.42999999999916e-05 × 6371000     		dr = 600.785299999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50458381-0.50467968) × cos(0.18144399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983584150254663 × 6371000     		do = 600.761169741378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50458381-0.50467968) × cos(0.18134969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983601162320789 × 6371000     		du = 600.77156050331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18144399)-sin(0.18134969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983584150254663-0.983601162320789)×R²
    abs(0.50467968-0.50458381)×1.7012066126032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7012066126032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7012066126032e-05×40589641000000     		ar = 360931.601167379m²