Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3803 / 2043
↖ ↑ ↗
← N 66.600676°
W 12.875977°		 ← 1 940.61 m → N 66.600676°
W 12.832032°		 →
↑
1 941.31 m
↓
↑
1 941.31 m
↓
N 66.583217°
W 12.875977°		 ← 1 941.97 m →
3 768 642 m²		 N 66.583217°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46429443359375 y=0.24945068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46429443359375 × 213)
    floor (0.46429443359375 × 8192)
    floor (3803.5)     		tx = 3803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24945068359375 × 213)
    floor (0.24945068359375 × 8192)
    floor (2043.5)     		ty = 2043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3803 / 2043 ti = "13/3803/2043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3803/2043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3803 ÷ 213
    3803 ÷ 8192     		x = 0.4642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2043 ÷ 213
    2043 ÷ 8192     		y = 0.2493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22472819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2493896484375 × 2 - 1) × π
    0.501220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5746312787196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22472819} λ = -0.22472819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5746312787196))-π/2
    2×atan(4.8289607492179)-π/2
    2×1.36659870101466-π/2
    2.73319740202931-1.57079632675     		φ = 1.16240108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22472819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16240108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.600676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3803 KachelY 2043 -0.22472819 1.16240108 -12.875977 66.600676
    Oben rechts KachelX + 1 3804 KachelY 2043 -0.22396120 1.16240108 -12.832032 66.600676
    Unten links KachelX 3803 KachelY + 1 2044 -0.22472819 1.16209637 -12.875977 66.583217
    Unten rechts KachelX + 1 3804 KachelY + 1 2044 -0.22396120 1.16209637 -12.832032 66.583217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16240108-1.16209637) × R
    0.000304709999999986 × 6371000     		dl = 1941.30740999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16240108-1.16209637) × R
    0.000304709999999986 × 6371000     		dr = 1941.30740999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22472819--0.22396120) × cos(1.16240108) × R
    0.000766989999999995 × 0.397137062780417 × 6371000     		do = 1940.60759248681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22472819--0.22396120) × cos(1.16209637) × R
    0.000766989999999995 × 0.39741669477909 × 6371000     		du = 1941.97401237199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16240108)-sin(1.16209637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397137062780417-0.39741669477909)×R²
    abs(-0.22396120--0.22472819)×0.000279631998672758×R²
    0.000766989999999995×0.000279631998672758×6371000²
    0.000766989999999995×0.000279631998672758×40589641000000     		ar = 3768642.24887958m²