Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3803 / 2038
↖ ↑ ↗
← N 66.687784°
W 12.875977°		 ← 1 933.79 m → N 66.687784°
W 12.832032°		 →
↑
1 934.49 m
↓
↑
1 934.49 m
↓
N 66.670387°
W 12.875977°		 ← 1 935.15 m →
3 742 211 m²		 N 66.670387°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46429443359375 y=0.24884033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46429443359375 × 213)
    floor (0.46429443359375 × 8192)
    floor (3803.5)     		tx = 3803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24884033203125 × 213)
    floor (0.24884033203125 × 8192)
    floor (2038.5)     		ty = 2038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3803 / 2038 ti = "13/3803/2038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3803/2038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3803 ÷ 213
    3803 ÷ 8192     		x = 0.4642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2038 ÷ 213
    2038 ÷ 8192     		y = 0.248779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22472819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248779296875 × 2 - 1) × π
    0.50244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57846623068921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22472819} λ = -0.22472819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57846623068921))-π/2
    2×atan(4.84751513660676)-π/2
    2×1.36735886300633-π/2
    2.73471772601266-1.57079632675     		φ = 1.16392140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22472819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16392140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.687784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3803 KachelY 2038 -0.22472819 1.16392140 -12.875977 66.687784
    Oben rechts KachelX + 1 3804 KachelY 2038 -0.22396120 1.16392140 -12.832032 66.687784
    Unten links KachelX 3803 KachelY + 1 2039 -0.22472819 1.16361776 -12.875977 66.670387
    Unten rechts KachelX + 1 3804 KachelY + 1 2039 -0.22396120 1.16361776 -12.832032 66.670387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16392140-1.16361776) × R
    0.000303640000000049 × 6371000     		dl = 1934.49044000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16392140-1.16361776) × R
    0.000303640000000049 × 6371000     		dr = 1934.49044000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22472819--0.22396120) × cos(1.16392140) × R
    0.000766989999999995 × 0.395741316516025 × 6371000     		do = 1933.78728773131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22472819--0.22396120) × cos(1.16361776) × R
    0.000766989999999995 × 0.396020149714119 × 6371000     		du = 1935.14980428283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16392140)-sin(1.16361776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395741316516025-0.396020149714119)×R²
    abs(-0.22396120--0.22472819)×0.000278833198093908×R²
    0.000766989999999995×0.000278833198093908×6371000²
    0.000766989999999995×0.000278833198093908×40589641000000     		ar = 3742210.93748355m²