Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38029 / 28397
↖ ↑ ↗
← N 23.337212°
E 28.899536°		 ← 560.82 m → N 23.337212°
E 28.905029°		 →
↑
560.84 m
↓
↑
560.84 m
↓
N 23.332168°
E 28.899536°		 ← 560.84 m →
314 535 m²		 N 23.332168°
E 28.905029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580284118652344 y=0.433311462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580284118652344 × 216)
    floor (0.580284118652344 × 65536)
    floor (38029.5)     		tx = 38029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433311462402344 × 216)
    floor (0.433311462402344 × 65536)
    floor (28397.5)     		ty = 28397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38029 / 28397 ti = "16/38029/28397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38029/28397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38029 ÷ 216
    38029 ÷ 65536     		x = 0.580276489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28397 ÷ 216
    28397 ÷ 65536     		y = 0.433303833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580276489257812 × 2 - 1) × π
    0.160552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50439206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433303833007812 × 2 - 1) × π
    0.133392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.419064376478531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50439206} λ = 0.50439206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419064376478531))-π/2
    2×atan(1.52053823853673)-π/2
    2×0.989053758662912-π/2
    1.97810751732582-1.57079632675     		φ = 0.40731119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50439206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.899536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40731119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.337212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38029 KachelY 28397 0.50439206 0.40731119 28.899536 23.337212
    Oben rechts KachelX + 1 38030 KachelY 28397 0.50448793 0.40731119 28.905029 23.337212
    Unten links KachelX 38029 KachelY + 1 28398 0.50439206 0.40722316 28.899536 23.332168
    Unten rechts KachelX + 1 38030 KachelY + 1 28398 0.50448793 0.40722316 28.905029 23.332168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40731119-0.40722316) × R
    8.80300000000167e-05 × 6371000     		dl = 560.839130000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40731119-0.40722316) × R
    8.80300000000167e-05 × 6371000     		dr = 560.839130000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50439206-0.50448793) × cos(0.40731119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918189291020487 × 6371000     		do = 560.818789500272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50439206-0.50448793) × cos(0.40722316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91822415983657 × 6371000     		du = 560.84008694669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40731119)-sin(0.40722316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918189291020487-0.91822415983657)×R²
    abs(0.50448793-0.50439206)×3.48688160829447e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48688160829447e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48688160829447e-05×40589641000000     		ar = 314535.094414674m²