Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38029 / 28363
↖ ↑ ↗
← N 23.508589°
E 28.899536°		 ← 560.09 m → N 23.508589°
E 28.905029°		 →
↑
560.07 m
↓
↑
560.07 m
↓
N 23.503552°
E 28.899536°		 ← 560.11 m →
313 700 m²		 N 23.503552°
E 28.905029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580284118652344 y=0.432792663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580284118652344 × 216)
    floor (0.580284118652344 × 65536)
    floor (38029.5)     		tx = 38029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432792663574219 × 216)
    floor (0.432792663574219 × 65536)
    floor (28363.5)     		ty = 28363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38029 / 28363 ti = "16/38029/28363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38029/28363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38029 ÷ 216
    38029 ÷ 65536     		x = 0.580276489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28363 ÷ 216
    28363 ÷ 65536     		y = 0.432785034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580276489257812 × 2 - 1) × π
    0.160552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50439206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432785034179688 × 2 - 1) × π
    0.134429931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.422324085652695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50439206} λ = 0.50439206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422324085652695))-π/2
    2×atan(1.52550283816199)-π/2
    2×0.990549305644849-π/2
    1.9810986112897-1.57079632675     		φ = 0.41030228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50439206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.899536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41030228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.508589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38029 KachelY 28363 0.50439206 0.41030228 28.899536 23.508589
    Oben rechts KachelX + 1 38030 KachelY 28363 0.50448793 0.41030228 28.905029 23.508589
    Unten links KachelX 38029 KachelY + 1 28364 0.50439206 0.41021437 28.899536 23.503552
    Unten rechts KachelX + 1 38030 KachelY + 1 28364 0.50448793 0.41021437 28.905029 23.503552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41030228-0.41021437) × R
    8.79100000000244e-05 × 6371000     		dl = 560.074610000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41030228-0.41021437) × R
    8.79100000000244e-05 × 6371000     		dr = 560.074610000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50439206-0.50448793) × cos(0.41030228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917000289290646 × 6371000     		do = 560.092561785176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50439206-0.50448793) × cos(0.41021437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917035351862707 × 6371000     		du = 560.113977575376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41030228)-sin(0.41021437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917000289290646-0.917035351862707)×R²
    abs(0.50448793-0.50439206)×3.50625720608733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50625720608733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50625720608733e-05×40589641000000     		ar = 313699.620528072m²