Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38027 / 30765
↖ ↑ ↗
← N 10.935798°
E 28.888550°		 ← 599.70 m → N 10.935798°
E 28.894043°		 →
↑
599.70 m
↓
↑
599.70 m
↓
N 10.930405°
E 28.888550°		 ← 599.71 m →
359 642 m²		 N 10.930405°
E 28.894043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580253601074219 y=0.469444274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580253601074219 × 216)
    floor (0.580253601074219 × 65536)
    floor (38027.5)     		tx = 38027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469444274902344 × 216)
    floor (0.469444274902344 × 65536)
    floor (30765.5)     		ty = 30765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38027 / 30765 ti = "16/38027/30765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38027/30765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38027 ÷ 216
    38027 ÷ 65536     		x = 0.580245971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30765 ÷ 216
    30765 ÷ 65536     		y = 0.469436645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580245971679688 × 2 - 1) × π
    0.160491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50420031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469436645507812 × 2 - 1) × π
    0.061126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.192035219877945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50420031} λ = 0.50420031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.192035219877945))-π/2
    2×atan(1.21171319260413)-π/2
    2×0.880831007883387-π/2
    1.76166201576677-1.57079632675     		φ = 0.19086569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50420031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.888550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19086569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.935798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38027 KachelY 30765 0.50420031 0.19086569 28.888550 10.935798
    Oben rechts KachelX + 1 38028 KachelY 30765 0.50429618 0.19086569 28.894043 10.935798
    Unten links KachelX 38027 KachelY + 1 30766 0.50420031 0.19077156 28.888550 10.930405
    Unten rechts KachelX + 1 38028 KachelY + 1 30766 0.50429618 0.19077156 28.894043 10.930405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19086569-0.19077156) × R
    9.41299999999978e-05 × 6371000     		dl = 599.702229999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19086569-0.19077156) × R
    9.41299999999978e-05 × 6371000     		dr = 599.702229999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50420031-0.50429618) × cos(0.19086569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98184037391452 × 6371000     		do = 599.696092479202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50420031-0.50429618) × cos(0.19077156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9818582268668 × 6371000     		du = 599.706996844114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19086569)-sin(0.19077156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98184037391452-0.9818582268668)×R²
    abs(0.50429618-0.50420031)×1.78529522809612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78529522809612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78529522809612e-05×40589641000000     		ar = 359642.353933534m²