Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38024 / 27515
↖ ↑ ↗
← N 27.707847°
E 28.872070°		 ← 540.75 m → N 27.707847°
E 28.877563°		 →
↑
540.77 m
↓
↑
540.77 m
↓
N 27.702984°
E 28.872070°		 ← 540.77 m →
292 427 m²		 N 27.702984°
E 28.877563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580207824707031 y=0.419853210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580207824707031 × 216)
    floor (0.580207824707031 × 65536)
    floor (38024.5)     		tx = 38024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419853210449219 × 216)
    floor (0.419853210449219 × 65536)
    floor (27515.5)     		ty = 27515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38024 / 27515 ti = "16/38024/27515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38024/27515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38024 ÷ 216
    38024 ÷ 65536     		x = 0.5802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27515 ÷ 216
    27515 ÷ 65536     		y = 0.419845581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5802001953125 × 2 - 1) × π
    0.160400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50391269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419845581054688 × 2 - 1) × π
    0.160308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.50362506740831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50391269} λ = 0.50391269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50362506740831))-π/2
    2×atan(1.65470884256279)-π/2
    2×1.02719474371578-π/2
    2.05438948743157-1.57079632675     		φ = 0.48359316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50391269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.872070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48359316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.707847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38024 KachelY 27515 0.50391269 0.48359316 28.872070 27.707847
    Oben rechts KachelX + 1 38025 KachelY 27515 0.50400856 0.48359316 28.877563 27.707847
    Unten links KachelX 38024 KachelY + 1 27516 0.50391269 0.48350828 28.872070 27.702984
    Unten rechts KachelX + 1 38025 KachelY + 1 27516 0.50400856 0.48350828 28.877563 27.702984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48359316-0.48350828) × R
    8.48800000000094e-05 × 6371000     		dl = 540.77048000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48359316-0.48350828) × R
    8.48800000000094e-05 × 6371000     		dr = 540.77048000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50391269-0.50400856) × cos(0.48359316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885329953986934 × 6371000     		do = 540.74870830987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50391269-0.50400856) × cos(0.48350828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885369416882763 × 6371000     		du = 540.772811764012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48359316)-sin(0.48350828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885329953986934-0.885369416882763)×R²
    abs(0.50400856-0.50391269)×3.94628958293453e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94628958293453e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94628958293453e-05×40589641000000     		ar = 292427.455945888m²