Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38023 / 28393
↖ ↑ ↗
← N 23.357386°
E 28.866577°		 ← 560.73 m → N 23.357386°
E 28.872070°		 →
↑
560.78 m
↓
↑
560.78 m
↓
N 23.352343°
E 28.866577°		 ← 560.75 m →
314 452 m²		 N 23.352343°
E 28.872070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580192565917969 y=0.433250427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580192565917969 × 216)
    floor (0.580192565917969 × 65536)
    floor (38023.5)     		tx = 38023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433250427246094 × 216)
    floor (0.433250427246094 × 65536)
    floor (28393.5)     		ty = 28393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38023 / 28393 ti = "16/38023/28393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38023/28393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38023 ÷ 216
    38023 ÷ 65536     		x = 0.580184936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28393 ÷ 216
    28393 ÷ 65536     		y = 0.433242797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580184936523438 × 2 - 1) × π
    0.160369873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50381682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433242797851562 × 2 - 1) × π
    0.133514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.419447871675491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50381682} λ = 0.50381682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419447871675491))-π/2
    2×atan(1.52112146947398)-π/2
    2×0.989229805877981-π/2
    1.97845961175596-1.57079632675     		φ = 0.40766329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50381682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.866577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40766329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.357386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38023 KachelY 28393 0.50381682 0.40766329 28.866577 23.357386
    Oben rechts KachelX + 1 38024 KachelY 28393 0.50391269 0.40766329 28.872070 23.357386
    Unten links KachelX 38023 KachelY + 1 28394 0.50381682 0.40757527 28.866577 23.352343
    Unten rechts KachelX + 1 38024 KachelY + 1 28394 0.50391269 0.40757527 28.872070 23.352343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40766329-0.40757527) × R
    8.8020000000022e-05 × 6371000     		dl = 560.77542000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40766329-0.40757527) × R
    8.8020000000022e-05 × 6371000     		dr = 560.77542000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50381682-0.50391269) × cos(0.40766329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918049752535095 × 6371000     		do = 560.73356109995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50381682-0.50391269) × cos(0.40757527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918084645845323 × 6371000     		du = 560.754873507092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40766329)-sin(0.40757527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918049752535095-0.918084645845323)×R²
    abs(0.50391269-0.50381682)×3.48933102278792e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48933102278792e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48933102278792e-05×40589641000000     		ar = 314451.57417401m²