Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38020 / 28110
↖ ↑ ↗
← N 24.776760°
E 28.850097°		 ← 554.62 m → N 24.776760°
E 28.855591°		 →
↑
554.60 m
↓
↑
554.60 m
↓
N 24.771772°
E 28.850097°		 ← 554.64 m →
307 597 m²		 N 24.771772°
E 28.855591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580146789550781 y=0.428932189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580146789550781 × 216)
    floor (0.580146789550781 × 65536)
    floor (38020.5)     		tx = 38020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428932189941406 × 216)
    floor (0.428932189941406 × 65536)
    floor (28110.5)     		ty = 28110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38020 / 28110 ti = "16/38020/28110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38020/28110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38020 ÷ 216
    38020 ÷ 65536     		x = 0.58013916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28110 ÷ 216
    28110 ÷ 65536     		y = 0.428924560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58013916015625 × 2 - 1) × π
    0.1602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50352919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428924560546875 × 2 - 1) × π
    0.14215087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.446580156860443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50352919} λ = 0.50352919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446580156860443))-π/2
    2×atan(1.56295796433845)-π/2
    2×1.0016161827971-π/2
    2.00323236559419-1.57079632675     		φ = 0.43243604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50352919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.850097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43243604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.776760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38020 KachelY 28110 0.50352919 0.43243604 28.850097 24.776760
    Oben rechts KachelX + 1 38021 KachelY 28110 0.50362507 0.43243604 28.855591 24.776760
    Unten links KachelX 38020 KachelY + 1 28111 0.50352919 0.43234899 28.850097 24.771772
    Unten rechts KachelX + 1 38021 KachelY + 1 28111 0.50362507 0.43234899 28.855591 24.771772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43243604-0.43234899) × R
    8.70500000000329e-05 × 6371000     		dl = 554.59555000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43243604-0.43234899) × R
    8.70500000000329e-05 × 6371000     		dr = 554.59555000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50352919-0.50362507) × cos(0.43243604) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.907947539697481 × 6371000     		do = 554.621098386844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50352919-0.50362507) × cos(0.43234899) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.907984017505651 × 6371000     		du = 554.643380909951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43243604)-sin(0.43234899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907947539697481-0.907984017505651)×R²
    abs(0.50362507-0.50352919)×3.64778081693995e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.64778081693995e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.64778081693995e-05×40589641000000     		ar = 307596.57218988m²