Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3802 / 2567
↖ ↑ ↗
← N 55.603178°
W 12.919922°		 ← 2 760.48 m → N 55.603178°
W 12.875977°		 →
↑
2 761.32 m
↓
↑
2 761.32 m
↓
N 55.578345°
W 12.919922°		 ← 2 762.23 m →
7 624 989 m²		 N 55.578345°
W 12.875977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46417236328125 y=0.31341552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46417236328125 × 213)
    floor (0.46417236328125 × 8192)
    floor (3802.5)     		tx = 3802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31341552734375 × 213)
    floor (0.31341552734375 × 8192)
    floor (2567.5)     		ty = 2567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3802 / 2567 ti = "13/3802/2567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3802/2567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3802 ÷ 213
    3802 ÷ 8192     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2567 ÷ 213
    2567 ÷ 8192     		y = 0.3133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3133544921875 × 2 - 1) × π
    0.373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17272831230505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17272831230505))-π/2
    2×atan(3.23079524335821)-π/2
    2×1.27062743019926-π/2
    2.54125486039852-1.57079632675     		φ = 0.97045853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97045853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.603178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3802 KachelY 2567 -0.22549518 0.97045853 -12.919922 55.603178
    Oben rechts KachelX + 1 3803 KachelY 2567 -0.22472819 0.97045853 -12.875977 55.603178
    Unten links KachelX 3802 KachelY + 1 2568 -0.22549518 0.97002511 -12.919922 55.578345
    Unten rechts KachelX + 1 3803 KachelY + 1 2568 -0.22472819 0.97002511 -12.875977 55.578345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97045853-0.97002511) × R
    0.000433420000000018 × 6371000     		dl = 2761.31882000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97045853-0.97002511) × R
    0.000433420000000018 × 6371000     		dr = 2761.31882000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22472819) × cos(0.97045853) × R
    0.000766989999999995 × 0.564921236900427 × 6371000     		do = 2760.48383349242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22472819) × cos(0.97002511) × R
    0.000766989999999995 × 0.56527881810188 × 6371000     		du = 2762.23115163395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97045853)-sin(0.97002511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564921236900427-0.56527881810188)×R²
    abs(-0.22472819--0.22549518)×0.000357581201453794×R²
    0.000766989999999995×0.000357581201453794×6371000²
    0.000766989999999995×0.000357581201453794×40589641000000     		ar = 7624988.53232666m²