Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3802 / 2110
↖ ↑ ↗
← N 65.403445°
W 12.919922°		 ← 2 033.89 m → N 65.403445°
W 12.875977°		 →
↑
2 034.58 m
↓
↑
2 034.58 m
↓
N 65.385147°
W 12.919922°		 ← 2 035.30 m →
4 139 545 m²		 N 65.385147°
W 12.875977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46417236328125 y=0.25762939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46417236328125 × 213)
    floor (0.46417236328125 × 8192)
    floor (3802.5)     		tx = 3802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25762939453125 × 213)
    floor (0.25762939453125 × 8192)
    floor (2110.5)     		ty = 2110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3802 / 2110 ti = "13/3802/2110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3802/2110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3802 ÷ 213
    3802 ÷ 8192     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2110 ÷ 213
    2110 ÷ 8192     		y = 0.257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257568359375 × 2 - 1) × π
    0.48486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5232429223269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5232429223269))-π/2
    2×atan(4.5870766343275)-π/2
    2×1.35615089023954-π/2
    2.71230178047907-1.57079632675     		φ = 1.14150545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14150545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.403445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3802 KachelY 2110 -0.22549518 1.14150545 -12.919922 65.403445
    Oben rechts KachelX + 1 3803 KachelY 2110 -0.22472819 1.14150545 -12.875977 65.403445
    Unten links KachelX 3802 KachelY + 1 2111 -0.22549518 1.14118610 -12.919922 65.385147
    Unten rechts KachelX + 1 3803 KachelY + 1 2111 -0.22472819 1.14118610 -12.875977 65.385147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14150545-1.14118610) × R
    0.000319349999999829 × 6371000     		dl = 2034.57884999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14150545-1.14118610) × R
    0.000319349999999829 × 6371000     		dr = 2034.57884999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22472819) × cos(1.14150545) × R
    0.000766989999999995 × 0.416226128964564 × 6371000     		do = 2033.886186308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22472819) × cos(1.14118610) × R
    0.000766989999999995 × 0.416516480278439 × 6371000     		du = 2035.304986055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14150545)-sin(1.14118610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416226128964564-0.416516480278439)×R²
    abs(-0.22472819--0.22549518)×0.000290351313875226×R²
    0.000766989999999995×0.000290351313875226×6371000²
    0.000766989999999995×0.000290351313875226×40589641000000     		ar = 4139545.18312572m²