Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3802 / 2027
↖ ↑ ↗
← N 66.878345°
W 12.919922°		 ← 1 918.85 m → N 66.878345°
W 12.875977°		 →
↑
1 919.52 m
↓
↑
1 919.52 m
↓
N 66.861082°
W 12.919922°		 ← 1 920.21 m →
3 684 570 m²		 N 66.861082°
W 12.875977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46417236328125 y=0.24749755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46417236328125 × 213)
    floor (0.46417236328125 × 8192)
    floor (3802.5)     		tx = 3802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24749755859375 × 213)
    floor (0.24749755859375 × 8192)
    floor (2027.5)     		ty = 2027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3802 / 2027 ti = "13/3802/2027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3802/2027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3802 ÷ 213
    3802 ÷ 8192     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2027 ÷ 213
    2027 ÷ 8192     		y = 0.2474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2474365234375 × 2 - 1) × π
    0.505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58690312502234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58690312502234))-π/2
    2×atan(4.8885861217503)-π/2
    2×1.36902182303183-π/2
    2.73804364606366-1.57079632675     		φ = 1.16724732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16724732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.878345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3802 KachelY 2027 -0.22549518 1.16724732 -12.919922 66.878345
    Oben rechts KachelX + 1 3803 KachelY 2027 -0.22472819 1.16724732 -12.875977 66.878345
    Unten links KachelX 3802 KachelY + 1 2028 -0.22549518 1.16694603 -12.919922 66.861082
    Unten rechts KachelX + 1 3803 KachelY + 1 2028 -0.22472819 1.16694603 -12.875977 66.861082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16724732-1.16694603) × R
    0.000301289999999899 × 6371000     		dl = 1919.51858999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16724732-1.16694603) × R
    0.000301289999999899 × 6371000     		dr = 1919.51858999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22472819) × cos(1.16724732) × R
    0.000766989999999995 × 0.39268473472587 × 6371000     		do = 1918.85132132338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22472819) × cos(1.16694603) × R
    0.000766989999999995 × 0.392961805221324 × 6371000     		du = 1920.20522444027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16724732)-sin(1.16694603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39268473472587-0.392961805221324)×R²
    abs(-0.22472819--0.22549518)×0.000277070495453668×R²
    0.000766989999999995×0.000277070495453668×6371000²
    0.000766989999999995×0.000277070495453668×40589641000000     		ar = 3684570.23170048m²