Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38017 / 29370
↖ ↑ ↗
← N 18.344098°
E 28.833618°		 ← 579.81 m → N 18.344098°
E 28.839112°		 →
↑
579.76 m
↓
↑
579.76 m
↓
N 18.338884°
E 28.833618°		 ← 579.83 m →
336 156 m²		 N 18.338884°
E 28.839112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580101013183594 y=0.448158264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580101013183594 × 216)
    floor (0.580101013183594 × 65536)
    floor (38017.5)     		tx = 38017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448158264160156 × 216)
    floor (0.448158264160156 × 65536)
    floor (29370.5)     		ty = 29370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38017 / 29370 ti = "16/38017/29370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38017/29370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38017 ÷ 216
    38017 ÷ 65536     		x = 0.580093383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29370 ÷ 216
    29370 ÷ 65536     		y = 0.448150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580093383789062 × 2 - 1) × π
    0.160186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50324157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448150634765625 × 2 - 1) × π
    0.10369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.325779169817902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50324157} λ = 0.50324157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325779169817902))-π/2
    2×atan(1.38510946112267)-π/2
    2×0.945480615870293-π/2
    1.89096123174059-1.57079632675     		φ = 0.32016490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50324157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.833618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32016490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.344098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38017 KachelY 29370 0.50324157 0.32016490 28.833618 18.344098
    Oben rechts KachelX + 1 38018 KachelY 29370 0.50333745 0.32016490 28.839112 18.344098
    Unten links KachelX 38017 KachelY + 1 29371 0.50324157 0.32007390 28.833618 18.338884
    Unten rechts KachelX + 1 38018 KachelY + 1 29371 0.50333745 0.32007390 28.839112 18.338884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32016490-0.32007390) × R
    9.09999999999522e-05 × 6371000     		dl = 579.760999999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32016490-0.32007390) × R
    9.09999999999522e-05 × 6371000     		dr = 579.760999999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50324157-0.50333745) × cos(0.32016490) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.949183533151021 × 6371000     		do = 579.81016601655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50324157-0.50333745) × cos(0.32007390) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.949212169021646 × 6371000     		du = 579.827658280502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32016490)-sin(0.32007390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949183533151021-0.949212169021646)×R²
    abs(0.50333745-0.50324157)×2.8635870624627e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.8635870624627e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.8635870624627e-05×40589641000000     		ar = 336156.392557948m²