Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38016 / 27239
↖ ↑ ↗
← N 29.041763°
E 28.828125°		 ← 533.99 m → N 29.041763°
E 28.833618°		 →
↑
534.02 m
↓
↑
534.02 m
↓
N 29.036961°
E 28.828125°		 ← 534.02 m →
285 167 m²		 N 29.036961°
E 28.833618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580085754394531 y=0.415641784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580085754394531 × 216)
    floor (0.580085754394531 × 65536)
    floor (38016.5)     		tx = 38016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415641784667969 × 216)
    floor (0.415641784667969 × 65536)
    floor (27239.5)     		ty = 27239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38016 / 27239 ti = "16/38016/27239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38016/27239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38016 ÷ 216
    38016 ÷ 65536     		x = 0.580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27239 ÷ 216
    27239 ÷ 65536     		y = 0.415634155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580078125 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50314570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415634155273438 × 2 - 1) × π
    0.168731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.530086235998581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50314570} λ = 0.50314570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.530086235998581))-π/2
    2×atan(1.69907882406007)-π/2
    2×1.03883535801674-π/2
    2.07767071603349-1.57079632675     		φ = 0.50687439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50314570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50687439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.041763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38016 KachelY 27239 0.50314570 0.50687439 28.828125 29.041763
    Oben rechts KachelX + 1 38017 KachelY 27239 0.50324157 0.50687439 28.833618 29.041763
    Unten links KachelX 38016 KachelY + 1 27240 0.50314570 0.50679057 28.828125 29.036961
    Unten rechts KachelX + 1 38017 KachelY + 1 27240 0.50324157 0.50679057 28.833618 29.036961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50687439-0.50679057) × R
    8.38199999999567e-05 × 6371000     		dl = 534.017219999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50687439-0.50679057) × R
    8.38199999999567e-05 × 6371000     		dr = 534.017219999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50314570-0.50324157) × cos(0.50687439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874266093737778 × 6371000     		do = 533.991037780697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50314570-0.50324157) × cos(0.50679057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874306780834714 × 6371000     		du = 534.015888961902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50687439)-sin(0.50679057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874266093737778-0.874306780834714)×R²
    abs(0.50324157-0.50314570)×4.06870969366091e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.06870969366091e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.06870969366091e-05×40589641000000     		ar = 285167.045146691m²