Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3801 / 2111
↖ ↑ ↗
← N 65.385147°
W 12.963867°		 ← 2 035.30 m → N 65.385147°
W 12.919922°		 →
↑
2 035.98 m
↓
↑
2 035.98 m
↓
N 65.366837°
W 12.963867°		 ← 2 036.72 m →
4 145 286 m²		 N 65.366837°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46405029296875 y=0.25775146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46405029296875 × 213)
    floor (0.46405029296875 × 8192)
    floor (3801.5)     		tx = 3801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25775146484375 × 213)
    floor (0.25775146484375 × 8192)
    floor (2111.5)     		ty = 2111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3801 / 2111 ti = "13/3801/2111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3801/2111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3801 ÷ 213
    3801 ÷ 8192     		x = 0.4639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2111 ÷ 213
    2111 ÷ 8192     		y = 0.2576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2576904296875 × 2 - 1) × π
    0.484619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52247593193298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22626217} λ = -0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52247593193298))-π/2
    2×atan(4.58355973949747)-π/2
    2×1.35599121384998-π/2
    2.71198242769995-1.57079632675     		φ = 1.14118610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14118610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.385147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3801 KachelY 2111 -0.22626217 1.14118610 -12.963867 65.385147
    Oben rechts KachelX + 1 3802 KachelY 2111 -0.22549518 1.14118610 -12.919922 65.385147
    Unten links KachelX 3801 KachelY + 1 2112 -0.22626217 1.14086653 -12.963867 65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 3802 KachelY + 1 2112 -0.22549518 1.14086653 -12.919922 65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14118610-1.14086653) × R
    0.000319570000000047 × 6371000     		dl = 2035.9804700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14118610-1.14086653) × R
    0.000319570000000047 × 6371000     		dr = 2035.9804700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22626217--0.22549518) × cos(1.14118610) × R
    0.000766990000000023 × 0.416516480278439 × 6371000     		do = 2035.30498605507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22626217--0.22549518) × cos(1.14086653) × R
    0.000766990000000023 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 2036.72455542828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14118610)-sin(1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416516480278439-0.416806989093035)×R²
    abs(-0.22549518--0.22626217)×0.00029050881459608×R²
    0.000766990000000023×0.00029050881459608×6371000²
    0.000766990000000023×0.00029050881459608×40589641000000     		ar = 4145286.34514204m²