Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3801 / 2033
↖ ↑ ↗
← N 66.774586°
W 12.963867°		 ← 1 926.99 m → N 66.774586°
W 12.919922°		 →
↑
1 927.67 m
↓
↑
1 927.67 m
↓
N 66.757250°
W 12.963867°		 ← 1 928.35 m →
3 715 910 m²		 N 66.757250°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46405029296875 y=0.24822998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46405029296875 × 213)
    floor (0.46405029296875 × 8192)
    floor (3801.5)     		tx = 3801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24822998046875 × 213)
    floor (0.24822998046875 × 8192)
    floor (2033.5)     		ty = 2033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3801 / 2033 ti = "13/3801/2033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3801/2033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3801 ÷ 213
    3801 ÷ 8192     		x = 0.4639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2033 ÷ 213
    2033 ÷ 8192     		y = 0.2481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2481689453125 × 2 - 1) × π
    0.503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58230118265881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22626217} λ = -0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58230118265881))-π/2
    2×atan(4.86614081579303)-π/2
    2×1.36811635251343-π/2
    2.73623270502686-1.57079632675     		φ = 1.16543638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16543638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.774586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3801 KachelY 2033 -0.22626217 1.16543638 -12.963867 66.774586
    Oben rechts KachelX + 1 3802 KachelY 2033 -0.22549518 1.16543638 -12.919922 66.774586
    Unten links KachelX 3801 KachelY + 1 2034 -0.22626217 1.16513381 -12.963867 66.757250
    Unten rechts KachelX + 1 3802 KachelY + 1 2034 -0.22549518 1.16513381 -12.919922 66.757250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16543638-1.16513381) × R
    0.000302570000000113 × 6371000     		dl = 1927.67347000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16543638-1.16513381) × R
    0.000302570000000113 × 6371000     		dr = 1927.67347000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22626217--0.22549518) × cos(1.16543638) × R
    0.000766990000000023 × 0.394349562800809 × 6371000     		do = 1926.98649254065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22626217--0.22549518) × cos(1.16513381) × R
    0.000766990000000023 × 0.394627594627558 × 6371000     		du = 1928.34509319646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16543638)-sin(1.16513381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394349562800809-0.394627594627558)×R²
    abs(-0.22549518--0.22626217)×0.000278031826748626×R²
    0.000766990000000023×0.000278031826748626×6371000²
    0.000766990000000023×0.000278031826748626×40589641000000     		ar = 3715910.23628729m²