Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38003 / 27256
↖ ↑ ↗
← N 28.960089°
E 28.756714°		 ← 534.41 m → N 28.960089°
E 28.762207°		 →
↑
534.46 m
↓
↑
534.46 m
↓
N 28.955282°
E 28.756714°		 ← 534.44 m →
285 631 m²		 N 28.955282°
E 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579887390136719 y=0.415901184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579887390136719 × 216)
    floor (0.579887390136719 × 65536)
    floor (38003.5)     		tx = 38003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415901184082031 × 216)
    floor (0.415901184082031 × 65536)
    floor (27256.5)     		ty = 27256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38003 / 27256 ti = "16/38003/27256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38003/27256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38003 ÷ 216
    38003 ÷ 65536     		x = 0.579879760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27256 ÷ 216
    27256 ÷ 65536     		y = 0.4158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579879760742188 × 2 - 1) × π
    0.159759521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50189934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4158935546875 × 2 - 1) × π
    0.168212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.528456381411499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50189934} λ = 0.50189934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528456381411499))-π/2
    2×atan(1.69631182815787)-π/2
    2×1.03812261302848-π/2
    2.07624522605696-1.57079632675     		φ = 0.50544890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50189934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.756714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50544890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.960089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38003 KachelY 27256 0.50189934 0.50544890 28.756714 28.960089
    Oben rechts KachelX + 1 38004 KachelY 27256 0.50199521 0.50544890 28.762207 28.960089
    Unten links KachelX 38003 KachelY + 1 27257 0.50189934 0.50536501 28.756714 28.955282
    Unten rechts KachelX + 1 38004 KachelY + 1 27257 0.50199521 0.50536501 28.762207 28.955282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50544890-0.50536501) × R
    8.38899999999754e-05 × 6371000     		dl = 534.463189999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50544890-0.50536501) × R
    8.38899999999754e-05 × 6371000     		dr = 534.463189999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50189934-0.50199521) × cos(0.50544890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874957205094802 × 6371000     		do = 534.413160145275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50189934-0.50199521) × cos(0.50536501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874997821575577 × 6371000     		du = 534.437968194993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50544890)-sin(0.50536501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874957205094802-0.874997821575577)×R²
    abs(0.50199521-0.50189934)×4.06164807748022e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.06164807748022e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.06164807748022e-05×40589641000000     		ar = 285630.792011469m²