Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38002 / 27251
↖ ↑ ↗
← N 28.984117°
E 28.751221°		 ← 534.29 m → N 28.984117°
E 28.756714°		 →
↑
534.34 m
↓
↑
534.34 m
↓
N 28.979312°
E 28.751221°		 ← 534.31 m →
285 496 m²		 N 28.979312°
E 28.756714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579872131347656 y=0.415824890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579872131347656 × 216)
    floor (0.579872131347656 × 65536)
    floor (38002.5)     		tx = 38002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415824890136719 × 216)
    floor (0.415824890136719 × 65536)
    floor (27251.5)     		ty = 27251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38002 / 27251 ti = "16/38002/27251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38002/27251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38002 ÷ 216
    38002 ÷ 65536     		x = 0.579864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27251 ÷ 216
    27251 ÷ 65536     		y = 0.415817260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579864501953125 × 2 - 1) × π
    0.15972900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50180347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415817260742188 × 2 - 1) × π
    0.168365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.5289357504077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50180347} λ = 0.50180347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.5289357504077))-π/2
    2×atan(1.697125182389)-π/2
    2×1.03833230236448-π/2
    2.07666460472897-1.57079632675     		φ = 0.50586828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50180347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.751221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50586828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.984117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38002 KachelY 27251 0.50180347 0.50586828 28.751221 28.984117
    Oben rechts KachelX + 1 38003 KachelY 27251 0.50189934 0.50586828 28.756714 28.984117
    Unten links KachelX 38002 KachelY + 1 27252 0.50180347 0.50578441 28.751221 28.979312
    Unten rechts KachelX + 1 38003 KachelY + 1 27252 0.50189934 0.50578441 28.756714 28.979312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50586828-0.50578441) × R
    8.38699999999859e-05 × 6371000     		dl = 534.33576999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50586828-0.50578441) × R
    8.38699999999859e-05 × 6371000     		dr = 534.33576999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50180347-0.50189934) × cos(0.50586828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874754064253258 × 6371000     		do = 534.289084203673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50180347-0.50189934) × cos(0.50578441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874794701823858 × 6371000     		du = 534.313905134798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50586828)-sin(0.50578441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874754064253258-0.874794701823858)×R²
    abs(0.50189934-0.50180347)×4.06375706000217e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.06375706000217e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.06375706000217e-05×40589641000000     		ar = 285496.400733701m²