Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38000 / 27249
↖ ↑ ↗
← N 28.993727°
E 28.740235°		 ← 534.24 m → N 28.993727°
E 28.745727°		 →
↑
534.27 m
↓
↑
534.27 m
↓
N 28.988922°
E 28.740235°		 ← 534.26 m →
285 436 m²		 N 28.988922°
E 28.745727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579841613769531 y=0.415794372558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579841613769531 × 216)
    floor (0.579841613769531 × 65536)
    floor (38000.5)     		tx = 38000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415794372558594 × 216)
    floor (0.415794372558594 × 65536)
    floor (27249.5)     		ty = 27249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38000 / 27249 ti = "16/38000/27249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38000/27249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38000 ÷ 216
    38000 ÷ 65536     		x = 0.579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27249 ÷ 216
    27249 ÷ 65536     		y = 0.415786743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579833984375 × 2 - 1) × π
    0.15966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50161172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415786743164062 × 2 - 1) × π
    0.168426513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.52912749800618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50161172} λ = 0.50161172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52912749800618))-π/2
    2×atan(1.69745063326826)-π/2
    2×1.03841616446366-π/2
    2.07683232892732-1.57079632675     		φ = 0.50603600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50161172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.740235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50603600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.993727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38000 KachelY 27249 0.50161172 0.50603600 28.740235 28.993727
    Oben rechts KachelX + 1 38001 KachelY 27249 0.50170759 0.50603600 28.745727 28.993727
    Unten links KachelX 38000 KachelY + 1 27250 0.50161172 0.50595214 28.740235 28.988922
    Unten rechts KachelX + 1 38001 KachelY + 1 27250 0.50170759 0.50595214 28.745727 28.988922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50603600-0.50595214) × R
    8.38600000000467e-05 × 6371000     		dl = 534.272060000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50603600-0.50595214) × R
    8.38600000000467e-05 × 6371000     		dr = 534.272060000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50161172-0.50170759) × cos(0.50603600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874672780347097 × 6371000     		do = 534.239436987891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50161172-0.50170759) × cos(0.50595214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874713425375888 × 6371000     		du = 534.264262474388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50603600)-sin(0.50595214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874672780347097-0.874713425375888)×R²
    abs(0.50170759-0.50161172)×4.06450287915305e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.06450287915305e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.06450287915305e-05×40589641000000     		ar = 285435.83648204m²