Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3800 / 2045
↖ ↑ ↗
← N 66.565747°
W 13.007813°		 ← 1 943.34 m → N 66.565747°
W 12.963867°		 →
↑
1 944.05 m
↓
↑
1 944.05 m
↓
N 66.548264°
W 13.007813°		 ← 1 944.71 m →
3 779 276 m²		 N 66.548264°
W 12.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46392822265625 y=0.24969482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46392822265625 × 213)
    floor (0.46392822265625 × 8192)
    floor (3800.5)     		tx = 3800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24969482421875 × 213)
    floor (0.24969482421875 × 8192)
    floor (2045.5)     		ty = 2045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3800 / 2045 ti = "13/3800/2045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3800/2045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3800 ÷ 213
    3800 ÷ 8192     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2045 ÷ 213
    2045 ÷ 8192     		y = 0.2496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2496337890625 × 2 - 1) × π
    0.500732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57309729793176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57309729793176))-π/2
    2×atan(4.82155889480602)-π/2
    2×1.36629388620531-π/2
    2.73258777241061-1.57079632675     		φ = 1.16179145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16179145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.565747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3800 KachelY 2045 -0.22702916 1.16179145 -13.007813 66.565747
    Oben rechts KachelX + 1 3801 KachelY 2045 -0.22626217 1.16179145 -12.963867 66.565747
    Unten links KachelX 3800 KachelY + 1 2046 -0.22702916 1.16148631 -13.007813 66.548264
    Unten rechts KachelX + 1 3801 KachelY + 1 2046 -0.22626217 1.16148631 -12.963867 66.548264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16179145-1.16148631) × R
    0.000305140000000037 × 6371000     		dl = 1944.04694000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16179145-1.16148631) × R
    0.000305140000000037 × 6371000     		dr = 1944.04694000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22626217) × cos(1.16179145) × R
    0.000766989999999995 × 0.397696482556931 × 6371000     		do = 1943.34119347103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22626217) × cos(1.16148631) × R
    0.000766989999999995 × 0.397976435185511 × 6371000     		du = 1944.70918011211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16179145)-sin(1.16148631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397696482556931-0.397976435185511)×R²
    abs(-0.22626217--0.22702916)×0.00027995262858066×R²
    0.000766989999999995×0.00027995262858066×6371000²
    0.000766989999999995×0.00027995262858066×40589641000000     		ar = 3779276.24498794m²