Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3800 / 2008
↖ ↑ ↗
← N 67.204033°
W 13.007813°		 ← 1 893.28 m → N 67.204033°
W 12.963867°		 →
↑
1 893.97 m
↓
↑
1 893.97 m
↓
N 67.187000°
W 13.007813°		 ← 1 894.61 m →
3 587 076 m²		 N 67.187000°
W 12.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46392822265625 y=0.24517822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46392822265625 × 213)
    floor (0.46392822265625 × 8192)
    floor (3800.5)     		tx = 3800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24517822265625 × 213)
    floor (0.24517822265625 × 8192)
    floor (2008.5)     		ty = 2008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3800 / 2008 ti = "13/3800/2008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3800/2008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3800 ÷ 213
    3800 ÷ 8192     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2008 ÷ 213
    2008 ÷ 8192     		y = 0.2451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2451171875 × 2 - 1) × π
    0.509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60147594250684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60147594250684))-π/2
    2×atan(4.96034821300164)-π/2
    2×1.37186398089313-π/2
    2.74372796178627-1.57079632675     		φ = 1.17293164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17293164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.204033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3800 KachelY 2008 -0.22702916 1.17293164 -13.007813 67.204033
    Oben rechts KachelX + 1 3801 KachelY 2008 -0.22626217 1.17293164 -12.963867 67.204033
    Unten links KachelX 3800 KachelY + 1 2009 -0.22702916 1.17263436 -13.007813 67.187000
    Unten rechts KachelX + 1 3801 KachelY + 1 2009 -0.22626217 1.17263436 -12.963867 67.187000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17293164-1.17263436) × R
    0.000297280000000066 × 6371000     		dl = 1893.97088000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17293164-1.17263436) × R
    0.000297280000000066 × 6371000     		dr = 1893.97088000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22626217) × cos(1.17293164) × R
    0.000766989999999995 × 0.387450702311745 × 6371000     		do = 1893.27525705212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22626217) × cos(1.17263436) × R
    0.000766989999999995 × 0.387724744772306 × 6371000     		du = 1894.61436369682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17293164)-sin(1.17263436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387450702311745-0.387724744772306)×R²
    abs(-0.22626217--0.22702916)×0.000274042460560842×R²
    0.000766989999999995×0.000274042460560842×6371000²
    0.000766989999999995×0.000274042460560842×40589641000000     		ar = 3587076.34559399m²