Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 380 / 397
↖ ↑ ↗
← S 69.900118°
E 87.187500°		 ← 26.869 km → S 69.900118°
E 87.890625°		 →
↑
26.714 km
↓
↑
26.714 km
↓
S 70.140365°
E 87.187500°		 ← 26.560 km →
713.658 km²		 S 70.140365°
E 87.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7431640625 y=0.7763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7431640625 × 29)
    floor (0.7431640625 × 512)
    floor (380.5)     		tx = 380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7763671875 × 29)
    floor (0.7763671875 × 512)
    floor (397.5)     		ty = 397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 380 / 397 ti = "9/380/397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/380/397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 380 ÷ 29
    380 ÷ 512     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 397 ÷ 29
    397 ÷ 512     		y = 0.775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775390625 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73033032868555))-π/2
    2×atan(0.177225857515075)-π/2
    2×0.175404563347454-π/2
    0.350809126694908-1.57079632675     		φ = -1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 380 KachelY 397 1.52170894 -1.21998720 87.187500 -69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 381 KachelY 397 1.53398079 -1.21998720 87.890625 -69.900118
    Unten links KachelX 380 KachelY + 1 398 1.52170894 -1.22418030 87.187500 -70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 381 KachelY + 1 398 1.53398079 -1.22418030 87.890625 -70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21998720--1.22418030) × R
    0.00419309999999995 × 6371000     		dl = 26714.2400999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21998720--1.22418030) × R
    0.00419309999999995 × 6371000     		dr = 26714.2400999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.53398079) × cos(-1.21998720) × R
    0.0122718500000001 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 26868.5238356756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.53398079) × cos(-1.22418030) × R
    0.0122718500000001 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 26560.422080184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21998720)-sin(-1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.339717038125863)×R²
    abs(1.53398079-1.52170894)×0.00394072863379263×R²
    0.0122718500000001×0.00394072863379263×6371000²
    0.0122718500000001×0.00394072863379263×40589641000000     		ar = 713657890.376323m²