Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37999 / 29173
↖ ↑ ↗
← N 19.368159°
E 28.734741°		 ← 576.28 m → N 19.368159°
E 28.740235°		 →
↑
576.26 m
↓
↑
576.26 m
↓
N 19.362976°
E 28.734741°		 ← 576.30 m →
332 092 m²		 N 19.362976°
E 28.740235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579826354980469 y=0.445152282714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579826354980469 × 216)
    floor (0.579826354980469 × 65536)
    floor (37999.5)     		tx = 37999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445152282714844 × 216)
    floor (0.445152282714844 × 65536)
    floor (29173.5)     		ty = 29173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37999 / 29173 ti = "16/37999/29173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37999/29173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37999 ÷ 216
    37999 ÷ 65536     		x = 0.579818725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29173 ÷ 216
    29173 ÷ 65536     		y = 0.445144653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579818725585938 × 2 - 1) × π
    0.159637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50151584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445144653320312 × 2 - 1) × π
    0.109710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.344666308268204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50151584} λ = 0.50151584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344666308268204))-π/2
    2×atan(1.41151882891)-π/2
    2×0.954417231379448-π/2
    1.9088344627589-1.57079632675     		φ = 0.33803814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50151584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.734741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33803814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.368159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37999 KachelY 29173 0.50151584 0.33803814 28.734741 19.368159
    Oben rechts KachelX + 1 38000 KachelY 29173 0.50161172 0.33803814 28.740235 19.368159
    Unten links KachelX 37999 KachelY + 1 29174 0.50151584 0.33794769 28.734741 19.362976
    Unten rechts KachelX + 1 38000 KachelY + 1 29174 0.50161172 0.33794769 28.740235 19.362976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33803814-0.33794769) × R
    9.04499999999642e-05 × 6371000     		dl = 576.256949999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33803814-0.33794769) × R
    9.04499999999642e-05 × 6371000     		dr = 576.256949999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50151584-0.50161172) × cos(0.33803814) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.943407105814124 × 6371000     		do = 576.281626828696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50151584-0.50161172) × cos(0.33794769) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.943437098512484 × 6371000     		du = 576.299947912879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33803814)-sin(0.33794769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943407105814124-0.943437098512484)×R²
    abs(0.50161172-0.50151584)×2.99926983605703e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.99926983605703e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.99926983605703e-05×40589641000000     		ar = 332091.571669571m²