Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37999 / 27248
↖ ↑ ↗
← N 28.998532°
E 28.734741°		 ← 534.27 m → N 28.998532°
E 28.740235°		 →
↑
534.27 m
↓
↑
534.27 m
↓
N 28.993727°
E 28.734741°		 ← 534.30 m →
285 452 m²		 N 28.993727°
E 28.740235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579826354980469 y=0.415779113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579826354980469 × 216)
    floor (0.579826354980469 × 65536)
    floor (37999.5)     		tx = 37999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415779113769531 × 216)
    floor (0.415779113769531 × 65536)
    floor (27248.5)     		ty = 27248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37999 / 27248 ti = "16/37999/27248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37999/27248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37999 ÷ 216
    37999 ÷ 65536     		x = 0.579818725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27248 ÷ 216
    27248 ÷ 65536     		y = 0.415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579818725585938 × 2 - 1) × π
    0.159637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50151584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415771484375 × 2 - 1) × π
    0.16845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.52922337180542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50151584} λ = 0.50151584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52922337180542))-π/2
    2×atan(1.69761338211104)-π/2
    2×1.0384580925906-π/2
    2.07691618518119-1.57079632675     		φ = 0.50611986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50151584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.734741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50611986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.998532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37999 KachelY 27248 0.50151584 0.50611986 28.734741 28.998532
    Oben rechts KachelX + 1 38000 KachelY 27248 0.50161172 0.50611986 28.740235 28.998532
    Unten links KachelX 37999 KachelY + 1 27249 0.50151584 0.50603600 28.734741 28.993727
    Unten rechts KachelX + 1 38000 KachelY + 1 27249 0.50161172 0.50603600 28.740235 28.993727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50611986-0.50603600) × R
    8.38599999999357e-05 × 6371000     		dl = 534.27205999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50611986-0.50603600) × R
    8.38599999999357e-05 × 6371000     		dr = 534.27205999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50151584-0.50161172) × cos(0.50611986) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.874632129167169 × 6371000     		do = 534.270330556966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50151584-0.50161172) × cos(0.50603600) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.874672780347097 × 6371000     		du = 534.295162390389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50611986)-sin(0.50603600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874632129167169-0.874672780347097)×R²
    abs(0.50161172-0.50151584)×4.06511799274645e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.06511799274645e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.06511799274645e-05×40589641000000     		ar = 285452.343748014m²