Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37994 / 30938
↖ ↑ ↗
← N 10.001311°
E 28.707275°		 ← 601.57 m → N 10.001311°
E 28.712769°		 →
↑
601.55 m
↓
↑
601.55 m
↓
N  9.995901°
E 28.707275°		 ← 601.58 m →
361 877 m²		 N  9.995901°
E 28.712769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579750061035156 y=0.472084045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579750061035156 × 216)
    floor (0.579750061035156 × 65536)
    floor (37994.5)     		tx = 37994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472084045410156 × 216)
    floor (0.472084045410156 × 65536)
    floor (30938.5)     		ty = 30938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37994 / 30938 ti = "16/37994/30938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37994/30938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37994 ÷ 216
    37994 ÷ 65536     		x = 0.579742431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30938 ÷ 216
    30938 ÷ 65536     		y = 0.472076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579742431640625 × 2 - 1) × π
    0.15948486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50103647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.472076416015625 × 2 - 1) × π
    0.05584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.175449052609406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50103647} λ = 0.50103647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.175449052609406))-π/2
    2×atan(1.19178126895871)-π/2
    2×0.872676061048447-π/2
    1.74535212209689-1.57079632675     		φ = 0.17455580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50103647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17455580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.001311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37994 KachelY 30938 0.50103647 0.17455580 28.707275 10.001311
    Oben rechts KachelX + 1 37995 KachelY 30938 0.50113235 0.17455580 28.712769 10.001311
    Unten links KachelX 37994 KachelY + 1 30939 0.50103647 0.17446138 28.707275 9.995901
    Unten rechts KachelX + 1 37995 KachelY + 1 30939 0.50113235 0.17446138 28.712769 9.995901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17455580-0.17446138) × R
    9.44200000000117e-05 × 6371000     		dl = 601.549820000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17455580-0.17446138) × R
    9.44200000000117e-05 × 6371000     		dr = 601.549820000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50103647-0.50113235) × cos(0.17455580) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.984803780587122 × 6371000     		do = 601.568846881541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50103647-0.50113235) × cos(0.17446138) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.984820174185224 × 6371000     		du = 601.578860935204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17455580)-sin(0.17446138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984803780587122-0.984820174185224)×R²
    abs(0.50113235-0.50103647)×1.63935981024599e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.63935981024599e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.63935981024599e-05×40589641000000     		ar = 361876.64380422m²