Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37994 / 28383
↖ ↑ ↗
← N 23.407806°
E 28.707275°		 ← 560.58 m → N 23.407806°
E 28.712769°		 →
↑
560.58 m
↓
↑
560.58 m
↓
N 23.402765°
E 28.707275°		 ← 560.60 m →
314 258 m²		 N 23.402765°
E 28.712769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579750061035156 y=0.433097839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579750061035156 × 216)
    floor (0.579750061035156 × 65536)
    floor (37994.5)     		tx = 37994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433097839355469 × 216)
    floor (0.433097839355469 × 65536)
    floor (28383.5)     		ty = 28383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37994 / 28383 ti = "16/37994/28383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37994/28383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37994 ÷ 216
    37994 ÷ 65536     		x = 0.579742431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28383 ÷ 216
    28383 ÷ 65536     		y = 0.433090209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579742431640625 × 2 - 1) × π
    0.15948486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50103647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433090209960938 × 2 - 1) × π
    0.133819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.420406609667892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50103647} λ = 0.50103647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420406609667892))-π/2
    2×atan(1.5225805257324)-π/2
    2×0.989669806781626-π/2
    1.97933961356325-1.57079632675     		φ = 0.40854329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50103647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40854329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.407806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37994 KachelY 28383 0.50103647 0.40854329 28.707275 23.407806
    Oben rechts KachelX + 1 37995 KachelY 28383 0.50113235 0.40854329 28.712769 23.407806
    Unten links KachelX 37994 KachelY + 1 28384 0.50103647 0.40845530 28.707275 23.402765
    Unten rechts KachelX + 1 37995 KachelY + 1 28384 0.50113235 0.40845530 28.712769 23.402765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40854329-0.40845530) × R
    8.79899999999822e-05 × 6371000     		dl = 560.584289999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40854329-0.40845530) × R
    8.79899999999822e-05 × 6371000     		dr = 560.584289999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50103647-0.50113235) × cos(0.40854329) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.917700507738547 × 6371000     		do = 560.578713349125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50103647-0.50113235) × cos(0.40845530) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.917735460230772 × 6371000     		du = 560.60006413073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40854329)-sin(0.40845530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917700507738547-0.917735460230772)×R²
    abs(0.50113235-0.50103647)×3.4952492225071e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.4952492225071e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.4952492225071e-05×40589641000000     		ar = 314257.604670912m²