Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37989 / 30749
↖ ↑ ↗
← N 11.022080°
E 28.679810°		 ← 599.52 m → N 11.022080°
E 28.685303°		 →
↑
599.51 m
↓
↑
599.51 m
↓
N 11.016689°
E 28.679810°		 ← 599.53 m →
359 423 m²		 N 11.016689°
E 28.685303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579673767089844 y=0.469200134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579673767089844 × 216)
    floor (0.579673767089844 × 65536)
    floor (37989.5)     		tx = 37989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469200134277344 × 216)
    floor (0.469200134277344 × 65536)
    floor (30749.5)     		ty = 30749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37989 / 30749 ti = "16/37989/30749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37989/30749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37989 ÷ 216
    37989 ÷ 65536     		x = 0.579666137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30749 ÷ 216
    30749 ÷ 65536     		y = 0.469192504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579666137695312 × 2 - 1) × π
    0.159332275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50055711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469192504882812 × 2 - 1) × π
    0.061614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.193569200665787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50055711} λ = 0.50055711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.193569200665787))-π/2
    2×atan(1.21357336373058)-π/2
    2×0.881583960170462-π/2
    1.76316792034092-1.57079632675     		φ = 0.19237159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50055711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.679810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19237159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.022080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37989 KachelY 30749 0.50055711 0.19237159 28.679810 11.022080
    Oben rechts KachelX + 1 37990 KachelY 30749 0.50065298 0.19237159 28.685303 11.022080
    Unten links KachelX 37989 KachelY + 1 30750 0.50055711 0.19227749 28.679810 11.016689
    Unten rechts KachelX + 1 37990 KachelY + 1 30750 0.50065298 0.19227749 28.685303 11.016689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19237159-0.19227749) × R
    9.41000000000136e-05 × 6371000     		dl = 599.511100000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19237159-0.19227749) × R
    9.41000000000136e-05 × 6371000     		dr = 599.511100000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50055711-0.50065298) × cos(0.19237159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981553578060166 × 6371000     		do = 599.520921078876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50055711-0.50065298) × cos(0.19227749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981571564436803 × 6371000     		du = 599.531906937753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19237159)-sin(0.19227749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981553578060166-0.981571564436803)×R²
    abs(0.50065298-0.50055711)×1.79863766374133e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79863766374133e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79863766374133e-05×40589641000000     		ar = 359422.740206449m²