Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37989 / 28390
↖ ↑ ↗
← N 23.372514°
E 28.679810°		 ← 560.67 m → N 23.372514°
E 28.685303°		 →
↑
560.71 m
↓
↑
560.71 m
↓
N 23.367471°
E 28.679810°		 ← 560.69 m →
314 380 m²		 N 23.367471°
E 28.685303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579673767089844 y=0.433204650878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579673767089844 × 216)
    floor (0.579673767089844 × 65536)
    floor (37989.5)     		tx = 37989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433204650878906 × 216)
    floor (0.433204650878906 × 65536)
    floor (28390.5)     		ty = 28390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37989 / 28390 ti = "16/37989/28390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37989/28390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37989 ÷ 216
    37989 ÷ 65536     		x = 0.579666137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28390 ÷ 216
    28390 ÷ 65536     		y = 0.433197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579666137695312 × 2 - 1) × π
    0.159332275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50055711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433197021484375 × 2 - 1) × π
    0.13360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.419735493073212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50055711} λ = 0.50055711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419735493073212))-π/2
    2×atan(1.52155903948137)-π/2
    2×0.989361823725971-π/2
    1.97872364745194-1.57079632675     		φ = 0.40792732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50055711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.679810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40792732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.372514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37989 KachelY 28390 0.50055711 0.40792732 28.679810 23.372514
    Oben rechts KachelX + 1 37990 KachelY 28390 0.50065298 0.40792732 28.685303 23.372514
    Unten links KachelX 37989 KachelY + 1 28391 0.50055711 0.40783931 28.679810 23.367471
    Unten rechts KachelX + 1 37990 KachelY + 1 28391 0.50065298 0.40783931 28.685303 23.367471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40792732-0.40783931) × R
    8.80099999999717e-05 × 6371000     		dl = 560.71170999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40792732-0.40783931) × R
    8.80099999999717e-05 × 6371000     		dr = 560.71170999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50055711-0.50065298) × cos(0.40792732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917945041831065 × 6371000     		do = 560.669605082541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50055711-0.50065298) × cos(0.40783931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917979952509618 × 6371000     		du = 560.690928098043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40792732)-sin(0.40783931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917945041831065-0.917979952509618)×R²
    abs(0.50065298-0.50055711)×3.49106785524356e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49106785524356e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49106785524356e-05×40589641000000     		ar = 314379.99124603m²