Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37989 / 28385
↖ ↑ ↗
← N 23.397723°
E 28.679810°		 ← 560.56 m → N 23.397723°
E 28.685303°		 →
↑
560.58 m
↓
↑
560.58 m
↓
N 23.392682°
E 28.679810°		 ← 560.58 m →
314 249 m²		 N 23.392682°
E 28.685303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579673767089844 y=0.433128356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579673767089844 × 216)
    floor (0.579673767089844 × 65536)
    floor (37989.5)     		tx = 37989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433128356933594 × 216)
    floor (0.433128356933594 × 65536)
    floor (28385.5)     		ty = 28385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37989 / 28385 ti = "16/37989/28385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37989/28385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37989 ÷ 216
    37989 ÷ 65536     		x = 0.579666137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28385 ÷ 216
    28385 ÷ 65536     		y = 0.433120727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579666137695312 × 2 - 1) × π
    0.159332275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50055711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433120727539062 × 2 - 1) × π
    0.133758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.420214862069412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50055711} λ = 0.50055711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420214862069412))-π/2
    2×atan(1.52228860256177)-π/2
    2×0.989581819996511-π/2
    1.97916363999302-1.57079632675     		φ = 0.40836731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50055711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.679810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40836731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.397723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37989 KachelY 28385 0.50055711 0.40836731 28.679810 23.397723
    Oben rechts KachelX + 1 37990 KachelY 28385 0.50065298 0.40836731 28.685303 23.397723
    Unten links KachelX 37989 KachelY + 1 28386 0.50055711 0.40827932 28.679810 23.392682
    Unten rechts KachelX + 1 37990 KachelY + 1 28386 0.50065298 0.40827932 28.685303 23.392682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40836731-0.40827932) × R
    8.79899999999822e-05 × 6371000     		dl = 560.584289999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40836731-0.40827932) × R
    8.79899999999822e-05 × 6371000     		dr = 560.584289999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50055711-0.50065298) × cos(0.40836731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917770405617669 × 6371000     		do = 560.562939419199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50055711-0.50065298) × cos(0.40827932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917805343898967 × 6371000     		du = 560.584279294121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40836731)-sin(0.40827932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917770405617669-0.917805343898967)×R²
    abs(0.50065298-0.50055711)×3.49382812979693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49382812979693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49382812979693e-05×40589641000000     		ar = 314248.758996635m²