Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37988 / 28389
↖ ↑ ↗
← N 23.377556°
E 28.674316°		 ← 560.71 m → N 23.377556°
E 28.679810°		 →
↑
560.71 m
↓
↑
560.71 m
↓
N 23.372514°
E 28.674316°		 ← 560.73 m →
314 401 m²		 N 23.372514°
E 28.679810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579658508300781 y=0.433189392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579658508300781 × 216)
    floor (0.579658508300781 × 65536)
    floor (37988.5)     		tx = 37988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433189392089844 × 216)
    floor (0.433189392089844 × 65536)
    floor (28389.5)     		ty = 28389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37988 / 28389 ti = "16/37988/28389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37988/28389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37988 ÷ 216
    37988 ÷ 65536     		x = 0.57965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28389 ÷ 216
    28389 ÷ 65536     		y = 0.433181762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57965087890625 × 2 - 1) × π
    0.1593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50046123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433181762695312 × 2 - 1) × π
    0.133636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.419831366872452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50046123} λ = 0.50046123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419831366872452))-π/2
    2×atan(1.5217049241204)-π/2
    2×0.989405826328429-π/2
    1.97881165265686-1.57079632675     		φ = 0.40801533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50046123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.674316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40801533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.377556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37988 KachelY 28389 0.50046123 0.40801533 28.674316 23.377556
    Oben rechts KachelX + 1 37989 KachelY 28389 0.50055711 0.40801533 28.679810 23.377556
    Unten links KachelX 37988 KachelY + 1 28390 0.50046123 0.40792732 28.674316 23.372514
    Unten rechts KachelX + 1 37989 KachelY + 1 28390 0.50055711 0.40792732 28.679810 23.372514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40801533-0.40792732) × R
    8.80100000000272e-05 × 6371000     		dl = 560.711710000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40801533-0.40792732) × R
    8.80100000000272e-05 × 6371000     		dr = 560.711710000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50046123-0.50055711) × cos(0.40801533) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.917910124042331 × 6371000     		do = 560.706757778523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50046123-0.50055711) × cos(0.40792732) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.917945041831065 × 6371000     		du = 560.72808736145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40801533)-sin(0.40792732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917910124042331-0.917945041831065)×R²
    abs(0.50055711-0.50046123)×3.49177887345453e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.49177887345453e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.49177887345453e-05×40589641000000     		ar = 314400.825039053m²