Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37986 / 30819
↖ ↑ ↗
← N 10.644412°
E 28.663330°		 ← 600.34 m → N 10.644412°
E 28.668823°		 →
↑
600.28 m
↓
↑
600.28 m
↓
N 10.639014°
E 28.663330°		 ← 600.35 m →
360 373 m²		 N 10.639014°
E 28.668823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579627990722656 y=0.470268249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579627990722656 × 216)
    floor (0.579627990722656 × 65536)
    floor (37986.5)     		tx = 37986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470268249511719 × 216)
    floor (0.470268249511719 × 65536)
    floor (30819.5)     		ty = 30819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37986 / 30819 ti = "16/37986/30819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37986/30819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37986 ÷ 216
    37986 ÷ 65536     		x = 0.579620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30819 ÷ 216
    30819 ÷ 65536     		y = 0.470260620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579620361328125 × 2 - 1) × π
    0.15924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50026948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470260620117188 × 2 - 1) × π
    0.059478759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.186858034718979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50026948} λ = 0.50026948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.186858034718979))-π/2
    2×atan(1.20545613998221)-π/2
    2×0.878288185607328-π/2
    1.75657637121466-1.57079632675     		φ = 0.18578004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50026948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.663330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18578004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.644412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37986 KachelY 30819 0.50026948 0.18578004 28.663330 10.644412
    Oben rechts KachelX + 1 37987 KachelY 30819 0.50036536 0.18578004 28.668823 10.644412
    Unten links KachelX 37986 KachelY + 1 30820 0.50026948 0.18568582 28.663330 10.639014
    Unten rechts KachelX + 1 37987 KachelY + 1 30820 0.50036536 0.18568582 28.668823 10.639014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18578004-0.18568582) × R
    9.4220000000006e-05 × 6371000     		dl = 600.275620000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18578004-0.18568582) × R
    9.4220000000006e-05 × 6371000     		dr = 600.275620000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50026948-0.50036536) × cos(0.18578004) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.982792465950909 × 6371000     		do = 600.340232358568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50026948-0.50036536) × cos(0.18568582) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.982809865266929 × 6371000     		du = 600.35086075651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18578004)-sin(0.18568582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982792465950909-0.982809865266929)×R²
    abs(0.50036536-0.50026948)×1.73993160204056e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.73993160204056e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.73993160204056e-05×40589641000000     		ar = 360372.795440717m²