Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37985 / 28384
↖ ↑ ↗
← N 23.402765°
E 28.657837°		 ← 560.54 m → N 23.402765°
E 28.663330°		 →
↑
560.58 m
↓
↑
560.58 m
↓
N 23.397723°
E 28.657837°		 ← 560.56 m →
314 237 m²		 N 23.397723°
E 28.663330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579612731933594 y=0.433113098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579612731933594 × 216)
    floor (0.579612731933594 × 65536)
    floor (37985.5)     		tx = 37985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433113098144531 × 216)
    floor (0.433113098144531 × 65536)
    floor (28384.5)     		ty = 28384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37985 / 28384 ti = "16/37985/28384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37985/28384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37985 ÷ 216
    37985 ÷ 65536     		x = 0.579605102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28384 ÷ 216
    28384 ÷ 65536     		y = 0.43310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579605102539062 × 2 - 1) × π
    0.159210205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50017361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43310546875 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.420310735868652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50017361} λ = 0.50017361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420310735868652))-π/2
    2×atan(1.52243455715014)-π/2
    2×0.98962581422671-π/2
    1.97925162845342-1.57079632675     		φ = 0.40845530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50017361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.657837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40845530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.402765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37985 KachelY 28384 0.50017361 0.40845530 28.657837 23.402765
    Oben rechts KachelX + 1 37986 KachelY 28384 0.50026948 0.40845530 28.663330 23.402765
    Unten links KachelX 37985 KachelY + 1 28385 0.50017361 0.40836731 28.657837 23.397723
    Unten rechts KachelX + 1 37986 KachelY + 1 28385 0.50026948 0.40836731 28.663330 23.397723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40845530-0.40836731) × R
    8.79900000000378e-05 × 6371000     		dl = 560.584290000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40845530-0.40836731) × R
    8.79900000000378e-05 × 6371000     		dr = 560.584290000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50017361-0.50026948) × cos(0.40845530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917735460230772 × 6371000     		do = 560.541595204265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50017361-0.50026948) × cos(0.40836731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917770405617669 × 6371000     		du = 560.562939419199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40845530)-sin(0.40836731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917735460230772-0.917770405617669)×R²
    abs(0.50026948-0.50017361)×3.49453868968563e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49453868968563e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49453868968563e-05×40589641000000     		ar = 314236.794981825m²