Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37983 / 27222
↖ ↑ ↗
← N 29.123373°
E 28.646850°		 ← 533.62 m → N 29.123373°
E 28.652344°		 →
↑
533.57 m
↓
↑
533.57 m
↓
N 29.118575°
E 28.646850°		 ← 533.65 m →
284 733 m²		 N 29.118575°
E 28.652344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579582214355469 y=0.415382385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579582214355469 × 216)
    floor (0.579582214355469 × 65536)
    floor (37983.5)     		tx = 37983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415382385253906 × 216)
    floor (0.415382385253906 × 65536)
    floor (27222.5)     		ty = 27222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37983 / 27222 ti = "16/37983/27222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37983/27222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37983 ÷ 216
    37983 ÷ 65536     		x = 0.579574584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27222 ÷ 216
    27222 ÷ 65536     		y = 0.415374755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579574584960938 × 2 - 1) × π
    0.159149169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49998186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415374755859375 × 2 - 1) × π
    0.16925048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.531716090585663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49998186} λ = 0.49998186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531716090585663))-π/2
    2×atan(1.70185033344039)-π/2
    2×1.03954753929876-π/2
    2.07909507859753-1.57079632675     		φ = 0.50829875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49998186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.646850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50829875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.123373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37983 KachelY 27222 0.49998186 0.50829875 28.646850 29.123373
    Oben rechts KachelX + 1 37984 KachelY 27222 0.50007774 0.50829875 28.652344 29.123373
    Unten links KachelX 37983 KachelY + 1 27223 0.49998186 0.50821500 28.646850 29.118575
    Unten rechts KachelX + 1 37984 KachelY + 1 27223 0.50007774 0.50821500 28.652344 29.118575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50829875-0.50821500) × R
    8.37500000000491e-05 × 6371000     		dl = 533.571250000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50829875-0.50821500) × R
    8.37500000000491e-05 × 6371000     		dr = 533.571250000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49998186-0.50007774) × cos(0.50829875) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.87357375581562 × 6371000     		do = 533.623821629398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49998186-0.50007774) × cos(0.50821500) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.873614513188878 × 6371000     		du = 533.648718331174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50829875)-sin(0.50821500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87357375581562-0.873614513188878)×R²
    abs(0.50007774-0.49998186)×4.0757373258149e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.0757373258149e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.0757373258149e-05×40589641000000     		ar = 284732.97178532m²