Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37981 / 29154
↖ ↑ ↗
← N 19.466592°
E 28.635865°		 ← 575.87 m → N 19.466592°
E 28.641357°		 →
↑
575.94 m
↓
↑
575.94 m
↓
N 19.461413°
E 28.635865°		 ← 575.89 m →
331 672 m²		 N 19.461413°
E 28.641357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579551696777344 y=0.444862365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579551696777344 × 216)
    floor (0.579551696777344 × 65536)
    floor (37981.5)     		tx = 37981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444862365722656 × 216)
    floor (0.444862365722656 × 65536)
    floor (29154.5)     		ty = 29154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37981 / 29154 ti = "16/37981/29154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37981/29154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37981 ÷ 216
    37981 ÷ 65536     		x = 0.579544067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29154 ÷ 216
    29154 ÷ 65536     		y = 0.444854736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579544067382812 × 2 - 1) × π
    0.159088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49979012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444854736328125 × 2 - 1) × π
    0.11029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.346487910453766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49979012} λ = 0.49979012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346487910453766))-π/2
    2×atan(1.4140923979916)-π/2
    2×0.955276227690367-π/2
    1.91055245538073-1.57079632675     		φ = 0.33975613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49979012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.635865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33975613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.466592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37981 KachelY 29154 0.49979012 0.33975613 28.635865 19.466592
    Oben rechts KachelX + 1 37982 KachelY 29154 0.49988599 0.33975613 28.641357 19.466592
    Unten links KachelX 37981 KachelY + 1 29155 0.49979012 0.33966573 28.635865 19.461413
    Unten rechts KachelX + 1 37982 KachelY + 1 29155 0.49988599 0.33966573 28.641357 19.461413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33975613-0.33966573) × R
    9.03999999999905e-05 × 6371000     		dl = 575.938399999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33975613-0.33966573) × R
    9.03999999999905e-05 × 6371000     		dr = 575.938399999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49979012-0.49988599) × cos(0.33975613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942835964990676 × 6371000     		do = 575.87267653244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49979012-0.49988599) × cos(0.33966573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942866087586539 × 6371000     		du = 575.891075045594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33975613)-sin(0.33966573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942835964990676-0.942866087586539)×R²
    abs(0.49988599-0.49979012)×3.01225958631024e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01225958631024e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01225958631024e-05×40589641000000     		ar = 331672.48635679m²