Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37980 / 27229
↖ ↑ ↗
← N 29.089777°
E 28.630371°		 ← 533.80 m → N 29.089777°
E 28.635865°		 →
↑
533.83 m
↓
↑
533.83 m
↓
N 29.084976°
E 28.630371°		 ← 533.82 m →
284 962 m²		 N 29.084976°
E 28.635865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579536437988281 y=0.415489196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579536437988281 × 216)
    floor (0.579536437988281 × 65536)
    floor (37980.5)     		tx = 37980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415489196777344 × 216)
    floor (0.415489196777344 × 65536)
    floor (27229.5)     		ty = 27229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37980 / 27229 ti = "16/37980/27229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37980/27229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37980 ÷ 216
    37980 ÷ 65536     		x = 0.57952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27229 ÷ 216
    27229 ÷ 65536     		y = 0.415481567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57952880859375 × 2 - 1) × π
    0.1590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49969424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415481567382812 × 2 - 1) × π
    0.169036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.531044973990982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49969424} λ = 0.49969424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531044973990982))-π/2
    2×atan(1.70070857660879)-π/2
    2×1.03925435651566-π/2
    2.07850871303132-1.57079632675     		φ = 0.50771239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49969424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.630371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50771239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.089777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37980 KachelY 27229 0.49969424 0.50771239 28.630371 29.089777
    Oben rechts KachelX + 1 37981 KachelY 27229 0.49979012 0.50771239 28.635865 29.089777
    Unten links KachelX 37980 KachelY + 1 27230 0.49969424 0.50762860 28.630371 29.084976
    Unten rechts KachelX + 1 37981 KachelY + 1 27230 0.49979012 0.50762860 28.635865 29.084976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50771239-0.50762860) × R
    8.3790000000028e-05 × 6371000     		dl = 533.826090000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50771239-0.50762860) × R
    8.3790000000028e-05 × 6371000     		dr = 533.826090000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49969424-0.49979012) × cos(0.50771239) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.873858982218849 × 6371000     		do = 533.798052599636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49969424-0.49979012) × cos(0.50762860) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.873899716129198 × 6371000     		du = 533.82293496906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50771239)-sin(0.50762860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873858982218849-0.873899716129198)×R²
    abs(0.49979012-0.49969424)×4.0733910349644e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.0733910349644e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.0733910349644e-05×40589641000000     		ar = 284961.968864728m²