Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37980 / 27228
↖ ↑ ↗
← N 29.094577°
E 28.630371°		 ← 533.77 m → N 29.094577°
E 28.635865°		 →
↑
533.70 m
↓
↑
533.70 m
↓
N 29.089777°
E 28.630371°		 ← 533.80 m →
284 881 m²		 N 29.089777°
E 28.635865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579536437988281 y=0.415473937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579536437988281 × 216)
    floor (0.579536437988281 × 65536)
    floor (37980.5)     		tx = 37980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415473937988281 × 216)
    floor (0.415473937988281 × 65536)
    floor (27228.5)     		ty = 27228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37980 / 27228 ti = "16/37980/27228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37980/27228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37980 ÷ 216
    37980 ÷ 65536     		x = 0.57952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27228 ÷ 216
    27228 ÷ 65536     		y = 0.41546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57952880859375 × 2 - 1) × π
    0.1590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49969424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41546630859375 × 2 - 1) × π
    0.1690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.531140847790222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49969424} λ = 0.49969424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531140847790222))-π/2
    2×atan(1.70087163781795)-π/2
    2×1.03929624562974-π/2
    2.07859249125948-1.57079632675     		φ = 0.50779616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49969424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.630371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50779616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.094577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37980 KachelY 27228 0.49969424 0.50779616 28.630371 29.094577
    Oben rechts KachelX + 1 37981 KachelY 27228 0.49979012 0.50779616 28.635865 29.094577
    Unten links KachelX 37980 KachelY + 1 27229 0.49969424 0.50771239 28.630371 29.089777
    Unten rechts KachelX + 1 37981 KachelY + 1 27229 0.49979012 0.50771239 28.635865 29.089777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50779616-0.50771239) × R
    8.37700000000385e-05 × 6371000     		dl = 533.698670000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50779616-0.50771239) × R
    8.37700000000385e-05 × 6371000     		dr = 533.698670000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49969424-0.49979012) × cos(0.50779616) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.873818251898395 × 6371000     		do = 533.773172423106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49969424-0.49979012) × cos(0.50771239) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.873858982218849 × 6371000     		du = 533.798052599636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50779616)-sin(0.50771239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873818251898395-0.873858982218849)×R²
    abs(0.49979012-0.49969424)×4.0730320453819e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.0730320453819e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.0730320453819e-05×40589641000000     		ar = 284880.671629101m²