Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3798 / 2549
↖ ↑ ↗
← N 56.047500°
W 13.095703°		 ← 2 729.13 m → N 56.047500°
W 13.051758°		 →
↑
2 730.04 m
↓
↑
2 730.04 m
↓
N 56.022948°
W 13.095703°		 ← 2 730.87 m →
7 453 005 m²		 N 56.022948°
W 13.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46368408203125 y=0.31121826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46368408203125 × 213)
    floor (0.46368408203125 × 8192)
    floor (3798.5)     		tx = 3798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31121826171875 × 213)
    floor (0.31121826171875 × 8192)
    floor (2549.5)     		ty = 2549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3798 / 2549 ti = "13/3798/2549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3798/2549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3798 ÷ 213
    3798 ÷ 8192     		x = 0.463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2549 ÷ 213
    2549 ÷ 8192     		y = 0.3111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.07275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22856314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3111572265625 × 2 - 1) × π
    0.377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18653413939563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22856314} λ = -0.22856314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18653413939563))-π/2
    2×atan(3.27570836185612)-π/2
    2×1.27450486600734-π/2
    2.54900973201467-1.57079632675     		φ = 0.97821341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22856314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97821341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.047500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3798 KachelY 2549 -0.22856314 0.97821341 -13.095703 56.047500
    Oben rechts KachelX + 1 3799 KachelY 2549 -0.22779615 0.97821341 -13.051758 56.047500
    Unten links KachelX 3798 KachelY + 1 2550 -0.22856314 0.97778490 -13.095703 56.022948
    Unten rechts KachelX + 1 3799 KachelY + 1 2550 -0.22779615 0.97778490 -13.051758 56.022948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97821341-0.97778490) × R
    0.000428509999999993 × 6371000     		dl = 2730.03720999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97821341-0.97778490) × R
    0.000428509999999993 × 6371000     		dr = 2730.03720999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22856314--0.22779615) × cos(0.97821341) × R
    0.000766989999999995 × 0.558505415293066 × 6371000     		do = 2729.13296425821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22856314--0.22779615) × cos(0.97778490) × R
    0.000766989999999995 × 0.558860813425385 × 6371000     		du = 2730.86961484707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97821341)-sin(0.97778490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558505415293066-0.558860813425385)×R²
    abs(-0.22779615--0.22856314)×0.000355398132318996×R²
    0.000766989999999995×0.000355398132318996×6371000²
    0.000766989999999995×0.000355398132318996×40589641000000     		ar = 7453005.2178708m²