Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37979 / 30907
↖ ↑ ↗
← N 10.168967°
E 28.624878°		 ← 601.19 m → N 10.168967°
E 28.630371°		 →
↑
601.23 m
↓
↑
601.23 m
↓
N 10.163560°
E 28.624878°		 ← 601.20 m →
361 459 m²		 N 10.163560°
E 28.630371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579521179199219 y=0.471611022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579521179199219 × 216)
    floor (0.579521179199219 × 65536)
    floor (37979.5)     		tx = 37979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471611022949219 × 216)
    floor (0.471611022949219 × 65536)
    floor (30907.5)     		ty = 30907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37979 / 30907 ti = "16/37979/30907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37979/30907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37979 ÷ 216
    37979 ÷ 65536     		x = 0.579513549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30907 ÷ 216
    30907 ÷ 65536     		y = 0.471603393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579513549804688 × 2 - 1) × π
    0.159027099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49959837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471603393554688 × 2 - 1) × π
    0.056793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.178421140385849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49959837} λ = 0.49959837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178421140385849))-π/2
    2×atan(1.19532861640313)-π/2
    2×0.874139142972156-π/2
    1.74827828594431-1.57079632675     		φ = 0.17748196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49959837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.624878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17748196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.168967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37979 KachelY 30907 0.49959837 0.17748196 28.624878 10.168967
    Oben rechts KachelX + 1 37980 KachelY 30907 0.49969424 0.17748196 28.630371 10.168967
    Unten links KachelX 37979 KachelY + 1 30908 0.49959837 0.17738759 28.624878 10.163560
    Unten rechts KachelX + 1 37980 KachelY + 1 30908 0.49969424 0.17738759 28.630371 10.163560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17748196-0.17738759) × R
    9.43699999999825e-05 × 6371000     		dl = 601.231269999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17748196-0.17738759) × R
    9.43699999999825e-05 × 6371000     		dr = 601.231269999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49959837-0.49969424) × cos(0.17748196) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984291376897468 × 6371000     		do = 601.193135125421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49959837-0.49969424) × cos(0.17738759) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984308033693819 × 6371000     		du = 601.20330889292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17748196)-sin(0.17738759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984291376897468-0.984308033693819)×R²
    abs(0.49969424-0.49959837)×1.6656796351544e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6656796351544e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6656796351544e-05×40589641000000     		ar = 361459.170808465m²