Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37978 / 29343
↖ ↑ ↗
← N 18.484819°
E 28.619385°		 ← 579.34 m → N 18.484819°
E 28.624878°		 →
↑
579.32 m
↓
↑
579.32 m
↓
N 18.479609°
E 28.619385°		 ← 579.35 m →
335 623 m²		 N 18.479609°
E 28.624878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579505920410156 y=0.447746276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579505920410156 × 216)
    floor (0.579505920410156 × 65536)
    floor (37978.5)     		tx = 37978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447746276855469 × 216)
    floor (0.447746276855469 × 65536)
    floor (29343.5)     		ty = 29343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37978 / 29343 ti = "16/37978/29343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37978/29343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37978 ÷ 216
    37978 ÷ 65536     		x = 0.579498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29343 ÷ 216
    29343 ÷ 65536     		y = 0.447738647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579498291015625 × 2 - 1) × π
    0.15899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49950249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447738647460938 × 2 - 1) × π
    0.104522705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.328367762397385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49950249} λ = 0.49950249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328367762397385))-π/2
    2×atan(1.3886995898811)-π/2
    2×0.946708639061217-π/2
    1.89341727812243-1.57079632675     		φ = 0.32262095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49950249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.619385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32262095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.484819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37978 KachelY 29343 0.49950249 0.32262095 28.619385 18.484819
    Oben rechts KachelX + 1 37979 KachelY 29343 0.49959837 0.32262095 28.624878 18.484819
    Unten links KachelX 37978 KachelY + 1 29344 0.49950249 0.32253002 28.619385 18.479609
    Unten rechts KachelX + 1 37979 KachelY + 1 29344 0.49959837 0.32253002 28.624878 18.479609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32262095-0.32253002) × R
    9.09300000000446e-05 × 6371000     		dl = 579.315030000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32262095-0.32253002) × R
    9.09300000000446e-05 × 6371000     		dr = 579.315030000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49950249-0.49959837) × cos(0.32262095) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.948407695472308 × 6371000     		do = 579.336244422604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49950249-0.49959837) × cos(0.32253002) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.948436521214896 × 6371000     		du = 579.353852670126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32262095)-sin(0.32253002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948407695472308-0.948436521214896)×R²
    abs(0.49959837-0.49950249)×2.88257425877791e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.88257425877791e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.88257425877791e-05×40589641000000     		ar = 335623.2944103m²