Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37978 / 27188
↖ ↑ ↗
← N 29.286399°
E 28.619385°		 ← 532.78 m → N 29.286399°
E 28.624878°		 →
↑
532.74 m
↓
↑
532.74 m
↓
N 29.281608°
E 28.619385°		 ← 532.80 m →
283 839 m²		 N 29.281608°
E 28.624878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579505920410156 y=0.414863586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579505920410156 × 216)
    floor (0.579505920410156 × 65536)
    floor (37978.5)     		tx = 37978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414863586425781 × 216)
    floor (0.414863586425781 × 65536)
    floor (27188.5)     		ty = 27188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37978 / 27188 ti = "16/37978/27188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37978/27188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37978 ÷ 216
    37978 ÷ 65536     		x = 0.579498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27188 ÷ 216
    27188 ÷ 65536     		y = 0.41485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579498291015625 × 2 - 1) × π
    0.15899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49950249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41485595703125 × 2 - 1) × π
    0.1702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.534975799759827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49950249} λ = 0.49950249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534975799759827))-π/2
    2×atan(1.70740692209665)-π/2
    2×1.04097020675785-π/2
    2.08194041351569-1.57079632675     		φ = 0.51114409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49950249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.619385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51114409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.286399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37978 KachelY 27188 0.49950249 0.51114409 28.619385 29.286399
    Oben rechts KachelX + 1 37979 KachelY 27188 0.49959837 0.51114409 28.624878 29.286399
    Unten links KachelX 37978 KachelY + 1 27189 0.49950249 0.51106047 28.619385 29.281608
    Unten rechts KachelX + 1 37979 KachelY + 1 27189 0.49959837 0.51106047 28.624878 29.281608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51114409-0.51106047) × R
    8.3620000000062e-05 × 6371000     		dl = 532.743020000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51114409-0.51106047) × R
    8.3620000000062e-05 × 6371000     		dr = 532.743020000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49950249-0.49959837) × cos(0.51114409) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872185417875333 × 6371000     		do = 532.775753343525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49950249-0.49959837) × cos(0.51106047) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872226319675067 × 6371000     		du = 532.800738268427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51114409)-sin(0.51106047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872185417875333-0.872226319675067)×R²
    abs(0.49959837-0.49950249)×4.09017997339278e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.09017997339278e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.09017997339278e-05×40589641000000     		ar = 283839.219256701m²