Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37977 / 27225
↖ ↑ ↗
← N 29.108976°
E 28.613892°		 ← 533.64 m → N 29.108976°
E 28.619385°		 →
↑
533.70 m
↓
↑
533.70 m
↓
N 29.104177°
E 28.613892°		 ← 533.67 m →
284 811 m²		 N 29.104177°
E 28.619385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579490661621094 y=0.415428161621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579490661621094 × 216)
    floor (0.579490661621094 × 65536)
    floor (37977.5)     		tx = 37977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415428161621094 × 216)
    floor (0.415428161621094 × 65536)
    floor (27225.5)     		ty = 27225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37977 / 27225 ti = "16/37977/27225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37977/27225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37977 ÷ 216
    37977 ÷ 65536     		x = 0.579483032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27225 ÷ 216
    27225 ÷ 65536     		y = 0.415420532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579483032226562 × 2 - 1) × π
    0.158966064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49940662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415420532226562 × 2 - 1) × π
    0.169158935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.531428469187943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49940662} λ = 0.49940662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531428469187943))-π/2
    2×atan(1.70136091525572)-π/2
    2×1.03942190125449-π/2
    2.07884380250899-1.57079632675     		φ = 0.50804748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49940662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.613892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50804748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.108976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37977 KachelY 27225 0.49940662 0.50804748 28.613892 29.108976
    Oben rechts KachelX + 1 37978 KachelY 27225 0.49950249 0.50804748 28.619385 29.108976
    Unten links KachelX 37977 KachelY + 1 27226 0.49940662 0.50796371 28.613892 29.104177
    Unten rechts KachelX + 1 37978 KachelY + 1 27226 0.49950249 0.50796371 28.619385 29.104177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50804748-0.50796371) × R
    8.37700000000385e-05 × 6371000     		dl = 533.698670000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50804748-0.50796371) × R
    8.37700000000385e-05 × 6371000     		dr = 533.698670000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49940662-0.49950249) × cos(0.50804748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873696019281793 × 6371000     		do = 533.642843274992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49940662-0.49950249) × cos(0.50796371) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873736767997952 × 6371000     		du = 533.667732092465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50804748)-sin(0.50796371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873696019281793-0.873736767997952)×R²
    abs(0.49950249-0.49940662)×4.07487161584452e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07487161584452e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07487161584452e-05×40589641000000     		ar = 284811.117442027m²